Формула работы идеального газа. Давление идеального одноатомного газа формула


Давление идеального газа, теория и примеры

Общие понятия о давлении идеального газа

Молекулы в идеальном газе совершают движения, при этом они ударяются о стенки сосуда, в котором газ находится, создавая этим давление газа на стенки. Это давление (p) легко вычисляется исходя из представлений молекулярно-кинетической теории (МКТ). Для облегчения данной задачи вводят следующие упрощения:

  1. Так как давление газа не зависит от формы сосуда, в котором этот газ находится, поэтому будем считать, что сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда, стороны которого .
  2. Пусть сталкивающиеся со стенкой молекулы газа испытывают зеркальное отражение от нее, без изменения величины скорости, взаимодействуют со стеной по закону абсолютно упругого удара.
  3. Все направления движения молекул следует считать равновероятными, если газ находится в равновесии. Для упрощения считаем, что молекулы движутся только в трех взаимно перпендикулярных направлениях, которые совпадают с ребрами параллелепипеда. Тогда, если в сосуде находится N молекул, то в каждом направлении движется молекул (вдоль одного ребра ).

Вычисление давления идеального газа

Выделим на стенке сосуда маленькую площадку , определим каково давление, которое газ оказывает на нее.

При соударении молекула, которая движется по нормали к площадке, передает ей импульс равный:

   

где – масса молекулы, v – скорость молекулы. За время равное выделенной площадки достигают только те молекулы, которые находятся в объеме цилиндра основание которого равно , а высота: . Количество таких молекул равно , где n – число молекул в единице объема газа. На самом деле молекулы движутся к выделенной площади под разными углами и имеют разные скорости, и скорость молекулы при каждом соударении со стенкой изменяется. Тогда принимая во внимание пункт 3 сделанных нами допусков имеем, что число ударов молекул о площадку будет равно: . Импульс, который получает стенка при ударах этого числа молекул, равен:

   

В таком случае давление газа на стенку получается равно:

   

Определим среднеквадратичную скорость (), которая характеризует всю совокупность молекул газа, как:

   

где N – число молекул в объема газа равном V. Тогда давление идеального газа равно:

   

Уравнение (5) называют основным уравнением МКТ. Приведенный вывод формулы (5) является очень приблизительным, но точный расчет давления с учетом движения молекул по всем направлениям даст такую же формулу.

Основное уравнение МКТ часто записывают в виде:

   

где – средняя кинетическая энергия поступательного перемещения молекул газа.

Давление идеального газа можно вычислить, применяя уравнения состояния:

   

где T – температура газа по абсолютной шкале температур (в К).

или уравнение состояния, называемое уравнением Менделеева — Клапейрона

   

где – молярная масса газа; R- универсальная газовая постоянная.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Идеальный одноатомный газ, теория и примеры

Определение идеального одноатомного газа

Количество атомов в молекуле оказывает влияние на то, как распределяется энергия по степеням свободы. Так для одноатомного газа молекула имеет три степени свободы (). Формулу для расчета внутренней энергии идеального одноатомного газа очень просто получить.

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа

Учтем, что молекулы идеального газа представлены как материальные точки, которые не взаимодействуют на расстоянии. Отсутствие сил взаимодействия между молекулами обозначает, что потенциальная энергия взаимодействия молекул постоянна. Суммарная энергия покоя самих молекул также неизменна, так как молекулы при тепловых процессах не изменяются. Следовательно, внутренняя энергия идеального одноатомного газа является суммой кинетических энергий поступательного движения молекул и еще некоторая постоянная.

Обозначим внутреннюю энергию газа как U, тогда сказанное выше запишем как:

   

где – сумма кинетических энергий поступательного движения молекул; N – число молекул в газе. Примем во внимание то, что средняя кинетическая энергия молекулы () равна:

   

По закону о равномерном распределении энергии по степеням свободы имеем:

   

для одноатомного газа:

   

– постоянная Больцмана; T – температура по шкале Кельвина.

Внутреннюю энергию одноатомного идеального газа можно записать как:

   

Обычно постоянную величину в выражении (5) опускают, так как в расчётах она роли не играет.

Выражение (5) говорит о том, что внутренняя энергия идеального газа определена его температурой. Она является функцией состояния и не зависит от процесса который провели для того чтобы газ пришел в состояние с этой температурой. При этом изменение внутренней энергии идеального газа определено только его начальным и конечным состояниями, и не связано с характером процесса.

Выражение (5) часто используют в виде:

   

где m – масса газа; – молярная масса газа; – универсальная газовая постоянная; – количество вещества.

Теплоемкость одноатомного идеального газа

Для изохорного процесса, проводимого в идеальном газе работа равна нулю (A), поэтому первое начало термодинамики:

   

запишем как:

   

где – теплоемкость газа при постоянном объеме. Используя выражения (8) и (6) получим:

   

Используя формулу (10) можно вычислить молярную теплоемкость любого одноатомного газа при постоянном объеме:

   

Молярная теплоемкость одноатомного газа при изобарном процессе () связана с соотношением Майера:

   

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

17. Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния - уравнение, связывающее между собой термодинамические (макроскопические) параметры системы, такие, как температура, давление, объём, химический потенциал и др. Уравнение состояния можно написать всегда, когда можно применять термодинамическое описание явлений. При этом реальные уравнения состояний реальных веществ могут быть крайне сложными. Уравнение состояния системы не содержится в постулатах термодинамики и не может быть выведено из неё. Оно должно быть взято со стороны (из опыта или из модели, созданной в рамках статистической физики). Термодинамика же не рассматривает вопросы внутреннего устройства вещества. Заметим, что соотношения, задаваемые уравнением состояния, справедливы только для состояний термодинамического равновесия. Идеальным наз. газ, уравнение состояния которого имеет вид: pV=vRT

его называют уравнением Клапейрона. Здесь v — количество вещества, измеряемое числом молей, R — универсальная газо­вая постоянная: R = 8,314 Дж/(моль*К). Моль — это количество вещества, содержащее число частиц, равное постоянной Авогадро: Na=6.022*10^23 моль^(-1). Молю соответствует масса — молярная масса, — разная для различных газов. С молекулярной точки зрения идеальный газ состоит из мо­лекул, взаимодействие между которыми пренебрежимо мало. Это присуще всем газам при достаточно большом разряжении. Простота модели идеального газа делает ее наиболее подхо­дящей для ознакомления с методами изучения макросистем и с соответствующими понятиями.

18. Одноатомный идеальный газ.

Согласно МКТ на 1-у степень свободы приходится энергия =, где к – постоянная Больцмана, а Т – абсолютная температура. Однаатомный газ имеет 3 степени свободы. Тогда внутренняя энергия:kT=T, k

19. Двухатомный идеальный газ. Вращательная и колебательная степени свободы.

Модель гантель.

3-степени свободы, и 2 вращательные степени свободы, т.е. полное число – 5 степеней свободы.

,

20.Классическая теория теплоемкости многоатомного идеального газа.

Основным отличием не одноатомных газов от одноатомных является наличие у них вращательных и колебательных степеней свободы. Считаем, что молекулы – это классические системы, подчиняющиеся законам Ньютона. Если молекулы газа не находятся во внешнем поле, то энергия их будет равна сумме энергии поступательного, вращательного и колебательного движений. Поступательное движение многоатомных молекул ничем не отличается от поступательного движения одноатомных молекул, поскольку оно сводится к движению центра тяжести системы.Для вращательного движения также оказывается, что на каждую степень свободы приходится энергия kT\2. Лишь при рассмотрении малых колебаний атомов в молекуле около равновесного расстояния между ними получается, что на одну колебательную степень свободы приходится в среднем энергия, вдвое большая, чем на одну степень свободы поступательного или вращательного движений. Смысл этого станет понятным, если вспомнить, что при колебательном движении средняя (за период) кинетическая энергия системы равна средней потенциальной энергии. Энергия колебательного движения состоит из 2-х слагаемых, имеющих одинаковую структуру квадратичного выражения относительно скоростей (импульсов) и координат. Для остальных степеней свободы (поступательное, вращательное движение) энергия выражается одним квадратичным (пропорциональным квадрату линейной или угловой скорости) членом на каждую степень свободы. Усреднение каждого квадратичного слагаемого в энергии колебаний приводит к средней энергии kT\2+kT\2=kT Таким образом, оказывается, что все степени свободы молекулы являются равноправными: каждое квадратичное слагаемое в энергии дает вклад в среднюю энергию молекулы, равный kT\2 (закон равномерного распределения по степеням свободы).Если в идеальном газе имеется N молекул, то средняя энергия газов равна i - общее число степеней свободы молекулы.А молярная теплоемкость Таким образом, теплоемкость идеальных газов оказывается не зависящей от температуры и определяется исключительно структурой молекулы - числом степеней свободы ее.Для одноатомных газов предсказания теории хорошо оправдываются на опыте. Но уже для 2-х атомных газов это не так; теплоемкость 2-х атомных газов должна быть равнаCv=7\2R Опыт показывает, что такой большой теплоемкостью они не обладают. Кроме того, оказывается, что теплоемкость 2-х атомных газов зависит от температуры. С понижением температуры она падает и стремится к значению 5\2R-это значение имел бы газ, состоящий из молекул с жесткими связями между атомами, при которых колебания атомов невозможны. Такое исчезновение колебательного движения, с точки зрения классической механики, является совершенно необъяснимым..Таким образом, опыт показывает, что закон равномерного распределения энергии по степеням свободы, который в частности основан на применимости представлений классической механики, выполняется только при высоких температурах

22. Неидеальный одноатомный газ. Вычисление статистического интеграла. Важное достижение С. ф. — вычисление поправок к термодинамическим величинам газа, связанных с взаимодействием между его частицами. С этой точки зрения уравнение состояния идеального газа является первым членом разложения давления реального газа по степеням плотности числа частиц, поскольку всякий газ при достаточно малой плотности ведёт себя как идеальный. С повышением плотности начинают играть роль поправки к уравнению состояния, связанные с взаимодействием. Они приводят к появлению в выражении для давления членов с более высокими степенями плотности числа частиц, так что давление изображается т. н. вириальным рядом вида:

  . (15)

  Коэффициенты В, С и т.д. зависят от температуры и наываются. вторым, третьим и т.д. вириальными коэффициентами. Методы С. ф. позволяют вычислить эти коэффициенты, если известен закон взаимодействия между молекулами газа. При этом коэффициенты В, С,... описывают одновременное взаимодействие двух, трёх и большего числа молекул. Например, если газ одноатомный и потенциальная энергия взаимодействия его атомов U (r), то второй вириальный коэффициент равен

. (16)

  По порядку величины В равен , гдеr0 — характерный размер атома, или, точнее, радиус действия межатомных сил. Это означает, что ряд (15) фактически представляет собой разложение по степеням безразмерного параметра Nr3/V, малого для достаточно разреженного газа. Взаимодействие между атомами газа носит характер отталкивания на близких расстояниях и притяжения на далёких. Это приводит к тому, что В > 0 при высоких температурах и В < 0 при низких. Поэтому давление реального газа при высоких температурах больше давления идеального газа той же плотности, а при низких — меньше. Так, например, для гелия при Т = 15,3 К коэффициент В = —3×10-23см3, а при T = 510 К В = 1,8 ×10-23см3. Для аргона В = —7,1×10-23см3 при Т = 180 К и В = 4,2×10-23см3 при Т = 6000 К. Для одноатомных газов вычислены значения вириальных коэффициентов, включая пятый, что позволяет описывать поведение газов в достаточно широком интервале плотностей (см. также Газы).

studfiles.net

Формула идеального газа в химии

Определение и формулы идеального газа

Допущения модели идеального газа:

  • объём частиц газа пренебрежимо мал, молекулы – материальные точки;
  • молекулы не взаимодействуют между собой, все столкновения абсолютно упругие;
  • время взаимодействия между частицами газа пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями молекул.

К большинству реальных в довольно широком интервале температур и давлений применима модель идеального газа.

Формулы для идеального газа

Формула, связывающая макроскопические параметры идеального газа, называется уравнением состояния идеального газа или уравнением Менделеева Клапейрона :

где р – давление, Па; V – объем, м; m – масса (кг), T – абсолютная температура (К), R – универсальная газовая постоянная, R = 8,314 Дж/(моль • К), М – молярная масса газа (кг/моль).

Если масса газа постоянна, то уравнение состояния можно записать в форме объединенного газового закона:

При постоянной температуре объединенный газовый закон переходит в уравнение Бойля Мариотта:

При постоянном давлении объединенный газовый закон переходит в уравнение Гей-Люссака:

При постоянном объеме объединенный газовый закон переходит в уравнение Шарля:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа связывает давление газа и среднюю кинетическую энергию его частиц:

где n – число частиц газа в единице объема, m0 – масса одной частицы, υ – скорость частицы.

Средняя кинетическая энергия частиц и абсолютная температура газа связаны уравнением:

где k = 1,38 • 10−23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Формула работы идеального газа, А

Работа в термодинамике

Работа в термодинамике вычисляется как:

   

где – начальный объем системы; – конечный объем. Работа считается большей нуля, если работу выполняет система (газ) над внешними силами.

Работу можно вычислить исходя из первого начала термодинамики:

   

где – количество теплоты, которое система получает; – изменение внутренней энергии системы. Если в качестве термодинамической системы выступает идеальный газ, то выражение (2) можно записать как:

   

где i – число степеней свободы молекулы идеального газа; – количество вещества; m – масса газа; – молярная масса газа; R – универсальная газовая постоянная; – изменение температуры газа в рассматриваемом процессе. Выражения (1),(2) и (3) записаны в интегральном виде.

Элементарная работа идеального газа () равна:

   

Или из первого начала термодинамики в дифференциальном виде следует, что:

   

Работа идеального газа в частных случаях

При изохорном процессе () работа газа равна нулю.

В изобарном процессе () работу вычисляют как:

   

где – конечный и начальный объемы газа; p – давление газа.

При изотермическом процессе () работу газа можно найти как:

   

При адиабатном процессе работу газ совершает за счет уменьшения своей внутренней энергии, и она равна:

   

или

   

где – показатель адиабаты.

Примеры решения задач по теме «Работа идеального газа»

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Давление идеального газа

Прежде чем вести речь о том, что такое давление идеального газа, следует уточнить само содержание понятия «идеальный газ». А понятие это характеризует математическую модель, универсальную формулу, предполагающую, что распределение потенциальной и кинетической энергии взаимодействующих молекул таково, что величиной потенциальной энергии можно пренебречь. Химико-физический смысл состоит в том, что предполагается абсолютная упругость стенок сосудов, в которых находится газ, а кроме того, признается ничтожной величина сил притяжения молекул, импульсов их удара о стенки сосуда и друг о друга.

Такое понимание сущности идеального газа находит очень широкое применение в области решения проблем термодинамики газов.

В физическом смысле различаются разновидности идеального газа: классический, свойства которого определяются классическими законами механики, и квантовый, характер которого выводится из принципов квантовой механики.

Первым вывел общее уравнение великий французский физик Бенуа́ Клапейро́н. Он же разработал и основные принципиальные положения учения об идеальном газе, которые положены в основу всех современных теорий, изучающих различные газы.

Исходным положением этого учения является вывод о том, что давление идеального газа является величиной неизменной при линейном характере зависимости его объема от температуры. При этом необходимо учитывать некоторые условные допущения:

- диаметр молекулы идеального газа мал до допустимости пренебрежения его величиной;

- импульс между молекулами может передаваться только при соударениях, таким образом, можно пренебречь и силой притяжения между ними;

- суммарная величина энергии молекул газа признается константой, при отсутствии теплообмена и работы, совершаемой над этим газом. В данном случае давление идеального газа зависит от суммы величин импульсов, которые создаются при столкновении молекул со стенками сосуда.

За время существования учения многие ученые занимались исследованием физико-химической природы газов, причем подходы у многих из них были неодинаковые. Это привело к тому, что в физической теории рассматривают классификацию идеального газа с точки зрения тех закономерностей, которые положил в основание своего исследования тот или иной физик – Ферми-газ, Бозе-газ и другие. Так, например, согласно эквивалентному подходу, рассматриваемый газ одновременно удовлетворяет законам и Бойля-Мариотта и Гей-Люссака: pV = bT, где р – давление, Т - абсолютная температура. Формула Менделеева дает уже более пространное представление о свойствах: pV = m/М х RT, где обозначены: R - газовая постоянная, M - молярная масса, m – масса.

Одним из наиболее ранних и разработанных учений о свойствах газов было описание такого свойства как давление идеального газа. Но в этой концепции были некоторые недочеты, связанные с односторонним подходом к исследованию. Так, даже измерив величину давления, мы не сможем выяснить параметры средних значений кинетической энергии каждой из отдельно взятых молекул, а также концентрацию этих молекул в сосуде. Поэтому требуется еще некий параметр, с помощью использования которого можно решить возникшую задачу. В качестве такой величины физиками была предложена температура. Эта скалярная величина в термодинамике дает представление о том, в каком тепловом состоянии находится система и какова ее динамика. Но в теории газов температура имеет важное значение и как молекулярно-кинетический параметр, потому что описывает поведение молекул газа в сосуде, а также отражает их среднюю кинетическую энергию. Это значение называется константой Больцмана.

Чтобы при поиске формулы давления не входить в сложности высшей математики, необходимо искусственно ввести некоторые упрощения:

- форму молекул представим в виде шара;

- расстояние между молекулами представим бесконечно большим, исключающим действие сил притяжения;

- скорости движения молекул установим на усредненном уровне;

- представим стенки сосуда абсолютно упругими.

Отсюда можно вывести формулу, в которой давление идеального газа будет представлять собой частное от деления величины силы, действующей перпендикулярно на стенку сосуда, на площадь поверхности, на которую эта сила действует: p = F/S.

В тех же случаях, когда наши упрощения не действуют, чтобы установить, как изменится давление идеального газа, в эту простую формулу необходимо будет вводить дополнительные значения.

fb.ru

Давление идеального газа

Что такое давление

Давление (p) важный макроскопический параметр, который характеризует состояние системы. Если кроме давления для данной массы газа известна температура или объем, то состояние системы определено однозначно, т.е. все остальные параметры можно рассчитать, используя законы и уравнения МКТ.

Это физическая величина, которая определяется как:

где $F_n$ проекция силы на нормаль к поверхности S, на которую эта сила действует, S -- площадь тела.

Давление газа

Как уже неоднократно отмечалось, давление газа возникает в результате ударов молекул о стенки сосуда. Если мы считаем, что молекулы взаимодействуют со стенкой по законам абсолютно упругого удара, то частица передает стенке импульс, равный изменению импульса самой молекулы. Направим ось Х перпендикулярно стенке (рис.1), в этом случае изменение импульса стенки при ударе одной молекулой:

где $m_0$- масса молекулы.

Рис. 1

Поток импульса, который передается стенке за счет ударов молекулами, которые движутся со скоростями близкими к v, направлен к стенке, равен $nf(v)m_0{v_x\ }^2dv$, отсюда:

где

В результате непосредственного интегрирования получаем:

Так как мы уже отмечали, что рассматриваем единичную площадку стены в течение времени. равном 1с, то можно записать, что давление будет равно:

Давление газа изотропно, это величина скалярная.

При постоянном объеме давление газа массы m подчиняется закону Шарля:

где $p_0$- давление газа при температуре $T_0=273\ К$.

Давление смеси идеальных газов равно сумме их парциальных давлений:

\[p=\sum\limits^N_{i=1}{p_i}\ \left(7\right).\]

Уравнение (7) имеет название -- это закон Дальтона.

Парциальным давлением называют давление компоненты смеси газа, каким оно бы было, если бы других газов в смеси не было.

Ряд важных уравнений молекулярной физики, в которые входит давление:

  1. Уравнение состояния идеального газа(1):
  2. $p=nkT$(8).
  3. Уравнение состояния идеального газа(2) в виде уравнения Менделеева - Клайперона:
  4. $pV=\nu RT$(9).
  5. Основное уравнение МКТ:
  6. \[p=\frac{2}{3}n\left\langle E_k\right\rangle \left(10\right).\]
  7. Работа газа:
  8. \[dA=pdV\ \left(11\right).\]

Пример 1

Задание: В процессе сжатия 1-2 с линейной зависимостью р(V). Давление идеального газа возросло в 3 раза. Затем газ сжали в изобарном процессе 2-3 до первоначального объема. Найти отношение работ, совершенных газом в процессах расширения и сжатия. Температуры в состояниях 1 и 2 считать одинаковыми.

Рис. 2

Решение:

Работу газа (или над газом) можно рассчитать по формуле:

\[A=\int\nolimits^{V_2}_{V_1}{pdV}\ (1.1)\]

Если мы рассматриваем процесс (как в условиях нашей задачи) в осях p(V), то исходя из геометрического смысла интеграла работа A будет равна площади криволинейной трапеции (в общем случае), а в нашем площади прямоугольника, когда газ расширяется и площади трапеции, когда газ сжимают. Найдем эти площади.

Площадь прямоугольника:

\[{{A_{2\to 3}=S}_{2\to 3}=(V}_1-V_2)(p_2)(1.2)\]

Площадь трапеции:

\[{A_{1\to 2}=S}_{1\to 2}=(\frac{p_2+p_1}{2}){(V}_1-V_2)\ (1.3)\]

Из условий задачи имеем:

\[p_2=3p_1\ \left(1.4\right)\]

Найдем отношение $\frac{A_{2\to 3}}{A_{1\to 2}}$:

\[\frac{A_{2\to 3}}{A_{1\to 2}}=\frac{3p_1{(V}_1-V_2)}{\frac{4p_1}{2}{(V}_1-V_2)}=\frac{3}{2}\]

Ответ: Работа, которую совершает газ в процессе 2-3 в 1,5 больше, чем работа по сжатию газа при заданных условиях.

Пример 2

Задание: Определите, как изменяется давление постоянной массы идеального газа, если в процессе объем увеличивают, температура уменьшается?

Решение:

За основу решения возьмем уравнение Менделеева -- Клайперона:

\[pV=\nu RT\left(2.1\right).\]

Выразим из него давление:

\[p=\frac{\nu RT}{V}\to p\sim \frac{T\downarrow }{V\uparrow }\to p\downarrow \]

Ответ: В данном процессе давление уменьшается.

Пример 3

Задание: В процессе, график которого приведен на рисунке (рис.3) давление $p\sim T^n.\ $Найти значение n, если масса газа постоянна.

Рис. 3

Решение:

Из рисунка имеем зависимость p(V):

\[p\sim V\ \left(3.1\right)\]

Из уравнения Менделеева -- Клайперона:

\[pV\sim \ T\left(3.2\right)\]

Используем (3.1) заменив объем, получим:

\[p^2\sim T\ \left(3.3\right)\]

Ответ: Получили $p\sim T^{\frac{1}{2}}$, следовательно, $n=\frac{1}{2}.$

spravochnick.ru