Техника поиска решений репетитором задач по геометрии. Геометрия задача


Задачи по геометрии

Дата: марта 14, 2018 Автор: balu

На сколько частей делит пространство лента Мёбиуса бесконечной ширины?

Дата: декабря 5, 2017 Автор: balu

С помощью циркуля и линейки построить окружность, касающуюся двух данных окружностей, причем одной из них в данной точке.

Дата: апреля 21, 2017 Автор: balu

Город имеет форму круга радиуса R. По всей площади города магазины торговой сети расположены равномерно. Расстояние от центра города до распределительного центра сети равно r. Найти среднее расстояние от распределительного центра до магазина сети.

Дата: апреля 15, 2017 Автор: balu

Квадрат ABCD и правильный пятиугольник BEFGC имеют общую сторону BC. Вершины квадрата A и D лежат вне пятиугольника. Найти угол между отрезками AG и FD.

http://blog.kknop.com/2017/03/blog-post.html

Дата: марта 5, 2017 Автор: balu

Метеорит падает на сферическую Землю радиусом R под углом ѳ к отвесу со скоростью V и упруго (без потери энергии) отскакивает. В каком случае (при каком соотношении параметров) метеорит, попрыгав. вернётся в точку падения? (Допустим, g не меняется с высотой).

Е.Скляревский

Дата: февраля 26, 2017 Автор: balu

Проведем прямую AQ. С центром в точке O на ней построим окружность диаметром 3 так, что |AO|=1,5 (красная окружность). Отметим на прямой точку K так, что |AK|=1. Проведем через точку K под произвольным углом прямую, пересекающую окружность в точках G и E. Очевидно, в любом случае |GK|*|GE|=2. Построим с центром на прямой AQ окружность диаметром 17, касающуюся первой окружности в точке A (фиолетовая окружность). Пусть прямая GE пересекает вторую окружность в точках B и C. Очевидно, в любом случае |BK|*|CK|=16. Вращая прямую GE вокруг точки K можно найти такое ее положение, что |KE|=2^(1/3), а |GK|=2^(2/3), т.е. |GK|=|EK|^2. Вращая прямую BC вокруг точки K можно найти такое ее положение, что |KC|=2*2^(1/3), а |GE|=4*2^(2/3). С помощью гомотетии с коэффициентом 2 и центром в точке K построим синюю окружность. Точка C пересечения синей и фиолетовой окружности будет обладать замечательным свойством |KE|=|CK|=2^(1/3). Проверим наше построение с помощью окружности, полученной с помощью гомотетии с центром в точке K и коэффициентом 4 (зеленая окружность). На её пересечении с фиолетовой окружностью находится точка B такая, что |BK|=4*|GK|=4*2^(2/3), т.е. |BK|=|CK|^2. Легко убедиться, что точки B, K и E лежат на одной прямой.Однако, почему не ликуют древние греки? Ведь мы построили отрезок, равный кубическому корню из 2, решив таким образом задачу об удвоении куба! Возможно, в наше построение вкралась ошибка? Найдите её.

Дата: февраля 6, 2017 Автор: balu

Дана окружность с отмеченной на ней точкой А и точка В вне окружности. Найти параболу (построив ее директрису) с фокусом в точке В, касающуюся окружности в точке А.

Дата: ноября 9, 2016 Автор: balu

В просторном зале, стоя на полу, вы видите на полу отражение светильника, подвешенного под потолком. Пусть ваш рост h, высота потолка H, расстояние между вами и точкой на полу под светильником S. Вы двигаетесь в направлении светильника со скоростью V. С какой скоростью вы догоняете отражение светильника? С какой скоростью отражение светильника движется к точке под светильником?

Дата: июня 30, 2016 Автор: balu

На плоскости построены два отрезка длинами a и b. С помощью циркуля и двух прямых углов (например, в виде школьных угольников) построить отрезки длинами c и d — два средних пропорциональных отрезка к данным a и b, т.е. чтобы выполнялось соотношение a:c = c:d = d:b.

Дата: июня 26, 2016 Автор: balu

Из точки, где плоскость, наклоненная под углом α к горизонту, сопрягается с горизонтальной плоскостью, выстрелили шариком под углом β к горизонту. Каким должен быть угол β, чтобы шарик, отскочив от наклонной плоскости, вернулся в точку выстрела?

Е. Скляревский

Дата: июня 23, 2016 Автор: balu

Две окружности равного радиуса с центрами в точках О и О1 имеют общую хорду АВ. Из точки О проведен в произвольном направлении отрезок, пересекающий хорду AB, затем пересекающий окружность O в точке С и окружность О1 в точке D. Пусть М – середина отрезка CD. Доказать (или опровергнуть), что геометрическим местом точек M является дуга окружности.

Дата: июня 18, 2016 Автор: balu

Дана окружность и в ней центральный острый угол альфа. Построить угол, равный третьей части альфа, используя циркуль и линейку, на которой можно делать засечки, так, чтобы все построения не выходили за пределы окружности.

Дата: января 2, 2016 Автор: balu

В горизонтальной плите имеются два параллельных желоба полукруглого сечения радиуса R. Центры полукружий находятся в плоскости поверхности плиты на расстоянии L

Дата: января 2, 2016 Автор: balu

На наклонной плоскости два ткача придерживают два совершенно одинаковых рулона ткани. Одновременно отпускают. Один рулон скатывается со склона как цельный цилиндр, а второй во время спуска разматывается. Скольжение отсутствует. Какой рулон скатится быстрее?

Дата: января 1, 2016 Автор: balu

В горизонтальной металлической плите имеется лунка в форме полусферы радиусом R. Стержень длиной L лежит одним концом в лунке, второй конец торчит. Трение между стержнем и лункой отсутствует. Найти угол стержня к горизонту.

форум www.dxdy.ru

geom.uz

Решаем задачи по геометрии

В данном курсе приведены условия и решение задач по геометрии. Есть также некоторое количество задач из курса алгебры, если их содержание предполагало знания по геометрии. 

Задачи структурированы по темам: Планиметрия, Треугольники, Четырехугольники, Многоугольники,  Стереометрия и т.д. Все задачи по геометрии - с решением.

Если Вы не нашли решение задачи по геометрии интересующего Вас типа, напишите об этом в форуме - практически наверняка курс будет дополнен Вашей задачей. 

Обратите внимание на то, что задача (тип задачи) решение которой Вас интересует, может находиться несколько в ином разделе, чем Вы рассчитываете. Например, в разделе "теорема синусов", если ее решение предполагает использование данной теоремы. Для решающего это не всегда очевидно. 

Для ознакомления со справочной информацией, которая часто необходима для решения, например, относительно формул площади треугольника, площади параллелограмма, признаков подобия треугольников и т.д. перейдите к соответствующему разделу. Как правило, каждая глава содержит необходимую справочную информацию.

Идея курса - решение конкретных задач на примерах для получения навыков в их решении. 

У даному курсі приведені умови і рішення задач з геометрії. Є також деяка кількість завдань з курсу алгебри, якщо їх вміст передбачав знання по геометрії. 

Завдання структуровані по темах: Планіметрія, Трикутники, Чотирикутники, Багатокутники, Стереометрія і так далі. Всі завдання по геометрії - з рішенням.

Якщо Ви не знайшли рішення задачі по геометрії того типу, що цікавить Вас, напишіть про це на форумі - курс буде доповнений Вашим завданням. 

Звернiть увагу на те, що завдання (тип завдання) вирішення якого Вас цікавить, може знаходитися декілька в іншому розділі, чим Ви розраховуєте. Наприклад, в розділі "теорема синусів", якщо її рішення передбачає використання даної теореми. Для учня це не завжди очевидно.

Для ознайомлення з довідковою інформацією, яка часто необхідна для вирішення, наприклад, відносно формул площі трикутника, площі паралелограма, ознак подібності трикутників і так далі - перейдіть до відповідного розділу. Як правило, кожна глава містить необхідну довідкову інформацію. 

Ідея курсу - вирішення конкретних завдань на прикладах для здобуття навиків в їх рішенні.

profmeter.com.ua

Геометрические задачи | Задачи и головоломки

Опубликовано 13.02.2012

На белую плоскость брызнули чёрной краской. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1965 метрам.

Опубликовано 21.01.2012

Расстояние от города A до города B (по воздуху) равно 30 км, от B до C — 80 км, от C до D — 236 км, от D до E — 86 км, от E до A — 40 км. Найдите расстояние от E до C.

Опубликовано 18.01.2012

Докажите, что семью кругами радиуса 1 можно покрыть полностью круг радиуса 2, но нельзя покрыть круг большего радиуса.

Опубликовано 16.01.2012

В единичной квадратной решётке берётся произвольный единичный квадрат. Докажите, что одно из расстояний от произвольного узла решётки до вершин этого квадрата иррационально.

Опубликовано 13.01.2012

На сторонах AB и BC треугольника ABC построены квадраты ABDE и BCKL с центрами O1 и O2. M1 и M2 — середины отрезков DL и AC.

Докажите, что O1M1O2M2 — квадрат.

Опубликовано 03.01.2012

Точка C — середина отрезка AB. На произвольном луче, проведённом из точки C и не лежащем на прямой AB, выбраны три последовательные точки P, M и Q так, что PM = MQ:

Докажите, что AP + BQ > 2CM.

Опубликовано 02.01.2012

На плоскости дано 2n точек. Докажите, что их можно попарно соединить так, чтобы отрезки не пересекались.

Опубликовано 30.11.2011

Представьте себе деревянный куб со стороной 3 см, вся поверхность которого окрашена в чёрный цвет.

  1. Сколько потребуется разрезов, чтобы разделить куб на кубики со стороной 1 см?
  2. Сколько получится таких кубиков?
  3. Сколько кубиков будут иметь по 4 окрашенные грани?
  4. Сколько кубиков будут иметь по 3 окрашенные грани?
  5. Сколько кубиков будут иметь по 2 окрашенные грани?
  6. Сколько кубиков будут иметь по 1 окрашенной грани?
  7. Сколько кубиков будет неокрашенных?

Опубликовано 24.10.2011

Из шести спичек составить четыре равных равносторонних треугольника.

Опубликовано 07.09.2011

Прямоугольный треугольник вписан в четверть окружности так, как показано на рисунке. Можете ли вы, пользуясь лишь теми данными, которые приведены на чертеже, вычислить длину гипотенузы AC?

На размышление даётся одна минута!

Опубликовано 18.08.2011

Сколько треугольников в фигуре, изображённой на этом рисунке?

Опубликовано 13.08.2011

Два параллелограмма расположены, как показано на рисунке:

Докажите, что они равновелики (имеют одинаковую площадь).

Опубликовано 11.08.2011

Квадрат повёрнут 4 раза, каждый поворот на 90 градусов. Оказалось, что эти четыре поворота можно заменить одним и также на 90 градусов. Как это можно сделать?

Опубликовано 02.08.2011

Докажите, что у любого многогранника найдутся по крайней мере две грани, являющиеся многоугольниками с равным числом сторон.

Опубликовано 28.07.2011

На рисунке изображены проекции (вид сверху) двух многогранников:

Никаких невидимых рёбер у них нет. Не кажется ли вам, что эти рисунки относятся к категории невозможных? Почему?

Опубликовано 19.07.2011

Предложите способ измерения диагонали обыкновенного строительного кирпича с помощью одной лишь рулетки, который легко реализуется на практике. Постарайтесь при этом забыть о теореме Пифагора.

Опубликовано 04.07.2011

На рисунке изображена треугольная пирамида, в которой проведено сечение плоскостью:

Объясните, почему такой рисунок на самом деле невозможен.

Опубликовано 21.06.2011

Имеются два квадрата — 3×3 и 1×1. Разрезать эти квадраты на части, из которых можно было бы сложить один квадрат.

Если вы справились с этой задачей, то попробуйте решить её в общем виде: перекроить два произвольных квадрата в один.

Опубликовано 20.06.2011

Вы не забыли ещё теоремы Пифагора? Существует, вероятно, несколько десятков способов её доказательства. Воспроизведите хотя бы одно.

Опубликовано 13.06.2011

Из данной точки A, лежащей на данной прямой l, при помощи только лишь циркуля и линейки восстановить перпендикуляр к прямой l:

При этом нужно выполнить построение, проведя не более трёх линий (третьей линией должна быть искомая прямая).

Опубликовано 31.05.2011

Уезжая в командировку на 9 дней, инженер Додырин взял с собой кусок мыла прямоугольной формы. За неделю командировки кусок по всем направлениям уменьшился вдвое. Хватит ли остатка на последние 2 дня?

Опубликовано 24.05.2011

Из данной точки A, лежащей вне данной прямой l, при помощи только лишь циркуля и линейки опустить перпендикуляр на прямую l:

При этом нужно выполнить построение, проведя не более трёх линий (третьей линией должна быть искомая прямая).

Опубликовано 05.05.2011

Через данную точку A, лежащую вне данной прямой l, при помощи только лишь циркуля и линейки провести прямую, параллельную прямой l:

При этом нужно выполнить построение, проведя не более трёх линий (третьей линией должна быть искомая прямая).

Опубликовано 30.04.2011

Путешественник вышел из некоторой точки земного шара, прошёл 10 км на север, затем — 10 км на запад, 10 км на юг и 10 км на восток и вернулся в исходную точку. Для каких точек Земли возможно подобное путешествие?

Опубликовано 26.04.2011

Предположим, что земной шар по экватору обтянут плотно верёвкой. Верёвку увеличили на 1 м. Будем считать, что образовавшийся зазор равномерно распределён по всему экватору. Сможет ли в этот зазор прошмыгнуть мышь?

Опубликовано 20.04.2011

Центры O1, O2 и O3 трёх непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек O1, O2, O3 проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке:

Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Опубликовано 13.04.2011

Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?

Опубликовано 28.03.2011

Сколько граней у шестигранного карандаша?

Опубликовано 22.03.2011

Почему передняя ось телеги больше стирается и чаще загорается, чем задняя?

Опубликовано 09.03.2011

На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB:

Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.

Страницы

math.all-tests.ru

Геометрия. Урок 7. Практические задачи по геометрии

 

Содержание страницы:

Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, а стороны одного треугольника соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Подобие треугольников обозначается значком «∼». Запишем подобие двух треугольников:

△ABC∼△A1B1C1

Соответственные стороны двух подобных треугольников – это стороны, которые лежат напротив равных углов.

 

 

Пары равных углов:

∠A и ∠A1

∠B и ∠B1

∠C и ∠C1

Пары соответственных сторон:

BC и B1C1

AC и A1C1

AB и A1B1

Представьте себе, что на смартфоне или планшете вы открыли изображение треугольника. Вы захотели получше его рассмотреть и увеличили изображение. Сам треугольник увеличился, но его пропорции сохранились (он не сплюснулся, не вытянулся, просто стал больше). Вот такие два треугольника: исходный и увеличенный будут подобными. Масштаб увеличенной картинки изменился в k. Это число k будет являться коэффициентом подобия этих треугольников.

Коэффициент подобия k это число, равное отношению соответственных сторон подобных треугольников.

 

 

k=A1B1AB=A1C1AC=B1C1BC
  • Если стороны большего треугольника относить к сторонам меньшего треугольника, то коэффициент подобия k>1.
  • Если стороны меньшего треугольника относить к сторонам большего треугольника, то коэффициент подобия k<1.

 

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

P△A1B1C1P△ABC=k

 

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

S△A1B1C1S△ABC=k2

 

Первый признак подобия треугольников (по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

 

∠A=∠A1∠B=∠B1|⇒△ABC∼△A1B1C1

 

Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 

 

∠A=∠A1A1B1AB=A1C1AC=k|⇒△ABC∼△A1B1C1

 

Третий признак подобия треугольников (по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

 

A1B1AB=A1C1AC=B1C1BC=k⇒△ABC∼△A1B1C1

 

В задании 17 ОГЭ встречаются задачи, в которых необходимо найти угол между часовой и минутной стрелкой. Давайте разберёмся, как их решать.

Часовой циферблат – это окружность.

Градусная мера всей окружности равна 360°.

Стрелки – стороны центральных углов.

На окружности 60 маленьких делений и 12 больших.

Каждое маленькое деление отсекает от окружности дугу, градусная мера которой равна 360°60=6°.

Каждое большое деление отсекает от окружности дугу, градусная мера которой равна 360°12=30°.

Можно рассуждать, что одна большая дуга содержит пять маленьких, то есть её градусная мера равна 6°⋅5=30°.

 

 

В задании 17 ОГЭ встречаются задачи, в которых дано колесо со спицами и требуется определить либо угол между соседними спицами (если дано количество спиц), либо количество спиц (если дан угол между соседними спицами). Будем разбираться, как такие задачи решать.

Пусть у нас есть колесо, в котором n спиц. Тогда эти спицы образуют n равных центральных углов α.

 

 

Формула, которая связывает количество спиц и угол между двумя соседними:

α⋅n=360°

 

В задаче данного типа дана лестница, состоящая из n ступенек. Каждая ступенька характеризуется своей высотой (вертикальный отрезок) и длиной (горизонтальный отрезок). Сама лестница характеризуется своей длиной (отрезок AC), высотой (отрезок BC) и отрезком AB.

 

 

Высота всей лестницы – количество ступенек, умноженное на высоту одной ступеньки. Длина всей лестницы – количество ступенек, умноженное на длину одной ступеньки. Для нахождения длины лестницы необходимо применить теорему Пифагора.

 

Теоретический и практический материал по нахождению площадей треугольников и четырехугольников можно найти в уроках 3 и 4 модуля геометрия.

Перейти по ссылкам:

epmat.ru

Различные геометрические задачи

В этой статье мы рассмотрим решение разных задач, которые показались мне нетривиальными, интересными, “с изюминкой”.1. В трапецию АВСD, боковые стороны которой СD и AB равны соответственно 6 и 10, вписана окружность радиуса 3. Продолжения боковых сторон пересекаются в точке М. Требуется найти радиус окружности, описанной около треугольника AMD.

Задача 1

Диаметр вписанной в трапецию окружности равен 6. Так как вписанная окружность касается оснований трапеции, то ее диаметр является высотой нашей трапеции. Но боковая сторона ее тоже 6! Известно, что перпендикуляр – кратчайшее расстояние между любыми объектами, поэтому боковая сторона СD –  перпендикулярна основаниям трапеции, иначе она была бы большей длины. Таким образом, трапеция прямоугольная и треугольник ADM – тоже прямоугольный. Тогда, чтобы найти радиус описанной около него окружности, нужно найти его гипотенузу – искомый радиус будет равен ее половине.

Дополнительные построения

Рассмотрим теперь рисунок справа: проведем высоту трапеции из вершины В, как это показано красной линией на рисунке. В треугольнике АОВ известны гипотенуза (10) и высота (6). Определим его основание АО по теореме Пифагора – это второй его катет, и он равен 8:

 

Теперь можем определить основания нашей трапеции. Если в четырехугольник вписана окружность, то такой четырехугольник является описанным, и по свойству описанного четырехугольника суммы его противоположных сторон равны. То есть сумма оснований равна сумме боковых сторон, BC +AD=16. Тогда, поскольку OD=BC, то

 

Зная основание треугольника AMD, можем найти его гипотенузу. Здесь можно воспользоваться подобием треугольников ABO  и AMD, а можно – теоремой синусов. Также можно определить косинус угла А, и затем, зная его, найти гипотенузу треугольника AMD:

Итак, АМ=15. Радиус описанной около треугольника АMD окружности тогда 7.5

Ответ: 7.5

2. Плоскость, пересекающая ось цилиндра, пересекает основания цилиндра по хордам, длины которых равны 6 и 8. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра, если диаметр основания равен 10, а образующая 14.

Задача 2

Нарисуем чертеж:Чтобы определить тангенс искомого угла (рисунок справа), необходимо найти только расстояние между хордами.

Построения задачи

Это расстояние – прилежащий катет треугольника MNP, тангенс угла N которого мы ищем. Противолежащий катет – образующая цилиндра, и она нам известна. То есть нам достаточно найти расстояния  KM и NO и сложить их. КM – высота равнобедренного треугольника ABK. NO – высота равнобедренного треугольника DOC. Равнобедренные они потому, что их боковые стороны – радиусы цилиндра. Найдем площади этих треугольников по формуле Герона, тогда мы сможем узнать их высоты. Формула Герона:

 

Здесь p – полупериметр треугольника. Тогда:

 

Так как основание треугольника AKB равно 6 (это известная нам хорда), то его высота, очевидно, равна 4. Итак, KM=4.

Теперь рассмотрим треугольник DNC:

Так как основание треугольника DNC равно 8 (это вторая известная нам хорда), то его высота, очевидно, равна 3, ON=3. Значит, NP=NO+KM=7.

Тогда тангенс искомого угла можно определить из прямоугольного треугольника NPM:

Ответ: тангенс угла равен 2.

3. Плоскость пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость  , параллельная  , касается меньшего шара, а площадь сечения большего шара этой плоскостью равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью  .

Рассмотрим чертеж:

Задача 3

Построения задачи 3

Красными линиями показаны плоскости, секущие шары. Зеленые линии – радиусы большего шара, серые – меньшего. Расставим буквы, чтобы обозначить необходимые расстояния:

Чтобы определить площадь сечения (которая является окружностью), необходимо знать радиус этой окружности. Нам нужно найти длину отрезка DB. Этот отрезок – катет прямоугольного треугольника DOB. Прямоугольный он потому, что плоскость  по условию касается меньшего шара, значит, отрезок EO перпендикулярен ей, и, следовательно, перпендикулярен и плоскости  , раз плоскости параллельны. В треугольнике DOB известна длина гипотенузы BO – это радиус большего шара R. Таким образом, нужно найти DO, чтобы воспользоваться теоремой Пифагора.

Рассмотрим треугольник EFO. Его гипотенуза – это также R, а один из катетов – EO – это радиус меньшего шара r. Тогда

Заметим, что    – известная нам площадь, равная по условию 5.

В треугольнике DOC:

Из треугольника DBO выразим искомый радиус DB:

Тогда:

Здесь тоже  фигурирует величина известная:    –  площадь, равная по условию 7. Умножим последнее уравнение на , и вот она – искомая площадь сечения!

Ответ: искомая площадь сечения – 12.

4. Найдите объем и площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника со  сторонами 13, 14 и 15 вокруг прямой, проходящей через вершину среднего по величине угла треугольника параллельно средней его стороне.

Чтобы лучше представить себе, как может выглядеть подобная фигура, рассмотрим чертеж:

Задача 4

Средний угол треугольника лежит против его средней стороны – то есть это угол, противолежащий стороне с длиной 14. Тогда при вращении треугольника получится цилиндр, из которого “вырезаны” два конуса: сверху и снизу. Высота нашего цилиндра равна длине стороны – 14, а образующие конусов равны 13 и 15. Тогда объем такой фигуры равен объему цилиндра за вычетом  объемов двух конусов, а площадь поверхности – это сумма боковых поверхностей обоих конусов и цилиндра.

Рассмотрим рисунок:

Сечение цилиндра

Здесь представлено осевое сечение цилиндра (вернее, его половина). Этот рисунок поможет определить радиус цилиндра R. Видно, что искомый радиус цилиндра – это высота треугольника ABC – AK. Чтобы определить высоту, найдем площадь треугольника ABC. Здесь можно воспользоваться формулой Герона:

Найдем половину периметра:

Теперь определим площадь:

Зная площадь треугольника, просто найти высоту, а  в нашем случае это радиус цилиндра:

Определим теперь высоты конусов h и H. Это можно сделать по теореме Пифагора из треугольников ABD и ACM:

Теперь нам известны радиус цилиндра, образующие и высоты конусов, так что найти требуемые объем и площадь поверхности  – дело техники, как говорится:

Определение полной поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра:

Площадь боковой поверхности конуса с меньшей высотой:

Площадь боковой поверхности конуса с большей высотой:

Общая площадь поверхности:

Объем цилиндра:

Объем  меньшего конуса:

Объем большего конуса:

Искомый объем фигуры равен разнице объемов цилиндра и двух конусов:

Ответ: объем 4222, площадь 2111.

easy-physic.ru

Как решать задачи по геометрии: практические советы и рекомендации

Как решать задачи по геометрии? Многие учащиеся задаются этим вопросом на протяжении многих лет. Иногда даже сам предмет вызывает страх и отвращение из-за непонимания отдельных тем. Потом бывает очень сложно преодолеть неприязнь к геометрии и снова с заинтересованностью посещать уроки.

В чем причина

Во многом все зависит от того, как преподаватель объясняет свой предмет. Если учитель сможет заинтересовать учеников, дальше дело пойдет по накатанной, и каждый урок будет захватывающим. Дети даже будут оставаться на переменке, чтобы успеть решить как можно больше задач.

Если вам плохо объясняли этот предмет или есть еще какие-то причины, по которым у вас совершенно не получается вникнуть в тему, эта статья поможет разобраться.

Как научиться решать задачи по геометрии?

Для начала нужно понять, что за один день вы вряд ли далеко продвинетесь в своих знаниях, так что настраивайтесь на длительный процесс обучения.

Также нужно определиться с целью. Если вам нужно просто решить задачу по геометрии, чтобы не получить плохую оценку за контрольную работу, достаточно лишь выучить определенную тему и потренироваться в практических аспектах.

Что делать?

Возьмите учебник и пролистайте последние несколько параграфов, которые вы изучили. Постарайтесь вникнуть в информацию, поймите, что от этого зависит то, как будут оценены ваши знания. Теперь можете взять листочек и изучить несколько задач, обязательно смотрите в текст учебника и пытайтесь понять алгоритм решения.

Если что-то не получается, обратитесь к решебнику, который выпущен специально под ваш учебник. Только не списывайте абсолютно все, старайтесь понять, как решать задачи по геометрии.

Вспомните, о чем говорил преподаватель на занятиях, возможно, какая-то информация окажется полезной.

Не стоит пренебрегать и человеческим фактором. Хорошо знающие предмет школьники или студенты не откажут вам в помощи. Некоторые из них могут объяснить гораздо доходчивее преподавателей.

А тем, кто решил не просто разобраться в отдельных темах, а научиться решать задачи и как орешки их щелкать, нужно основательно потрудиться.

Во-первых, главное – это мотивировать себя на дальнейшие занятия. Бывает так, что вопрос о том, как научиться решать задачи по геометрии, встает лишь один раз, а потом начинается просто списывание примеров из интернета. Так делать крайне нежелательно.

Развивайте усидчивость. Посмотреть в решебник намного проще, разумеется, но подумайте, какое наслаждение вы испытаете, когда самостоятельно решите сложную задачку. Поэтому лучше лишние полчаса посидеть за учебником, чем стараться списать побыстрее чье-то решение.

Может быть, геометрия вам понадобится для будущей профессии. Тогда тем более не стоит откладывать дело в долгий ящик, нужно приниматься за задачи прямо сейчас.

Во-вторых, практика, и только она, поможет вам стать на шаг ближе к своей цели!

Заведите привычку узнавать что-то новое каждый день. Просто старайтесь с утра решать одну задачу, а потом проверяйте по ключам ее правильность. Позже заметите, что с каждым днем процесс идет все быстрее и качественнее.

Самое главное здесь – не сдаваться и не обращать внимания на мелкие трудности. Если вы включите в распорядок дня этот совет, то вопрос о том, как решать задачи по геометрии, отпадет сам собой.

В-третьих, обращайтесь за помощью к знакомым.

Не бойтесь в школе лишний раз поднять руку и выйти к доске, чтобы решить сложный пример, который никто не отважился постичь. Даже если что-то пойдет не так, и вам не удастся сделать задание, ничего страшного в этом нет. Преподаватель объяснит решение примера и даже похвалит вас за смелость. Также это неплохой способ показать свои знания одноклассникам.

Ребята могут помочь с выполнением заданий, когда узнают, что вы настроены серьезно в изучении предмета.

Не вешаем нос!

Не отчаивайтесь, если никто не откликнулся на вашу просьбу. Всегда можно обратиться за помощью к репетитору, который точно объяснит, как решить задачу по геометрии. Даже при ограничении в денежных средствах хорошим выходом станут занятия по скайпу, которые ничем не хуже уроков, проходящих при личной встрече.

Вот и все советы. Будем надеяться, что вы все-таки поняли, как решать задачи по геометрии. В любом случае старайтесь применять эти методы на практике, и вы осуществите задуманное!

fb.ru

Техника поиска решений репетитором задач по геометрии

Если Вы регулярно просматриваете решения задач по математике в тех или иных источниках, то, безусловно, обращали внимание на их декларационный характер. То есть последовательность шагов просто сообщается и не разъясняется, почему она именно такая и, самое главное, как до нее догадаться обычному школьнику. При индивидуальном подходе к обучению ситуация, как правило, не улучшается. Приглашенный репетитор по математике попросту повторяет Вашему ребенку то, что написано в книжках. При таком формате работы ценность репетитора неуклонно снижается, ибо на ОГЭ/ЕГЭ обязательно подвернется какая-нибудь незнакомая задача. Кроме того при желании можно и самостоятельно прочесть кучу решений, добиваясь в итоге (с той или иной скоростью) определенного уровня знаний. Конечно, большинство школьников и этого сделать не могут. Им нужен руководитель и проверяющий в одном лице, а также привычные «инфраструктурные условия», в которых привычно вести учебную деятельность: четкое расписание и план освоения предмета, ведение тетрадей, вопросы и ответы и т.д. Но если уж говорить о репетиторе по математике как о максимальном средстве борьбы за знания и развитие, то стоит остановиться на методах обучения поиску решений.

Такое обучение под силу только профессионалу с большой буквы. Мыслительную механику чрезвычайно сложно описывать словами. Одна размытая ориентировка и ученик запутается. Глубокий анализ порой неоднозначно воспринимается и упирается в законы мироздания, но все же попытаемся разобраться в принципах на примере нескольких геометрических задач. Предположим, что ученик знает теорию и не испытывает проблем с реализацией простейших логических операций.

Пример, на котором репетитору легко показать технику поиска

Два равнобедренных треугольника ABC и DBC склеены общим основанием BC. Докажите перпендикулярность прямых BC и AD.

Прежде всего, репетитору важно научить ребенка правильно «брать старт» в решении, а для этого требуется понять, какие факторы влияют на отрезок AD и как вообще можно придти к перпендикулярности. Допустим, что ответ получен: надо придти к углу 90 градусов. Как? Перебираем в голове все известные в 7 классе приемы, теоремы и определения, связанные прямыми углами. Их не так много: 1) определение высоты 2) непосредственный поиск угла через вычисления или через уравнение. Напрягаем мозги. Вычисления нереальны – нет никаких значений в градусах. Для уравнений желательно иметь равные углы, которые можно было бы обозначить одной буквой «икс», либо иметь несколько связующих условий. А у нас только есть вертикальные и смежные углы. Значит надо либо доказывать, что смежные углы AОC и DОC равны, либо брать теорему о высоте, а ей нужен равнобедренный треугольник с медианой, либо биссектрисой. Это в свою очередь потребует объяснить то, что равны отрезки, или равны углы. То есть в любой случае надо получить какие-нибудь равные элементы рисунка. Откуда их взять? Нужно помнить о том, что в 7 классе 80% задач решается через равные треугольники. Вот и возникает с подачи репетитора по математике главный вопрос для старта: «Какие треугольники рассмотреть?»

На старт, внимание, марш

Как правило, ученики видят по рисунку равенство ABО и ACО и зависают над ними. В чем принципиальная ошибка? В разрезании верхнего треугольника на интересующие нас части участвует линия AD, положение которой зависит от точки D. Если в рассмотренных треугольниках не будет вершины D – мы получим произвольное разрезание на части, которое не гарантирует нам их равенство, поэтому доказательство зайдет в тупик. Аналогичная история и с нижней парой треугольников. Здесь уже тупиком будет выброс точки A. Получается, что в паре искомых треугольников должны участвовать обе точки A и D, а значит AD — сторона хотя бы одного из треугольников.У нас имеется только два треугольника со стороной AD, подозрительно похожих на равные: ABD и ACD. Вот мы и вышли на старт. Любой хорошист укажет репетитору по математике на третий признак в обосновании их равенства.Далее собираем урожай с нашего поиска – любые соответствующие элементы в треугольниках равны. Какие взять? Помним о том, что нам нужны либо отрезки, либо углы. И то, и другое есть. Например, BO=CO или угол BAD равен углу CAD. В первом случае мы имеем медиану AO, во втором – биссектрису AO. А тогда AO – высота.

«Ясновидение» по математике

Как Вы видите, никакого ясновидения со стороны репетитора. Все действия подкрепляются целесообразностью шагов и логически продиктованы ситуацией. Умению «вскрывать» математику можно и нужно учить, с раннего возраста на систематических занятиях, начиная с подобных простых примеров. В последние годы я резко снизил на своих занятиях процент деклараций решений. Все чаще открываю ученику сам процесс размышлений, озвучивая свои мысли. Говорю: «Если был я не был репетитором и учился математике на твоем месте, то размышлял бы следующим образом ...». И начинаю подробно описывать все этапы поиска, вместе с возможными тупиковыми ходами и даже ошибками, то есть ровно так, я должен размышлять обычный человек. Постепенно ученик проникается идеями и каким-то волшебным образом начинает чувствовать математику интуитивно. В каждом человеке живет некое разумное начало, надо только до него достучаться и заставить работать во благо получения знаний. Что я и делаю на своих уроках в Строгино.

С уважением, Колпаков А.Н. Репетитор. Москва.

Метки: Методики для репетиторов, Примеры объяснений, Репетиторам по математике

ankolpakov.ru