Вычисление длины (модуля) вектора в MS EXCEL. Как найти длину вектора если известны его координаты


Как найти длину вектора: формула, примеры решений

Как найти?

Длина вектора обозначается как . Как найти длину вектора по его координатам? Для этого существует две формулы в зависимости от расположения вектора: на плоскости или в пространстве .

Формула

Формула длины вектора на плоскости:

Формула длины вектора в пространстве:

Если даны координаты точек начала и конца вектора и , то найти длину можно по формулам:

Примеры решений

Пример 1
Найти длину вектора по его координатам
Решение

Разберем вектор. Первая координата , а вторая координата . Так как даны две координаты, то делаем вывод, что задача плоская. Необходимо применить первую формулу. Подставляем в неё значения из условия задачи:

Ответ
Длина вектора
Пример 2
Найти длину вектора по координатам
Решение

Сразу замечаем, что дана пространственная задача. А именно . Для нахождения длины вектора используем вторую формулу. Подставляем неизвестные в неё:

Ответ
Длина вектора
Пример 3
Найти длину вектора, если известны координаты его начала и конца.
Решение

Задача дана плоская судя по наличию только двух координат у векторов. Но даны на этот раз начало и конец вектора. Поэтому сначала находим координаты вектора , а только потом его длину по формуле координат:

Теперь когда координаты вектора  стали известны можно использовать привычную формулу:

Ответ

В статье мы ответили на вопрос:"Как найти длину вектора?" с помощью формул. А также рассмотрели практические примеры решения задач на плоскости и в пространстве. Следует заметить, что существуют аналогичные формулы для пространств больше, чем трёхмерные.

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Как найти длину вектора

Понятие длины вектора

Для того, чтобы разобраться с понятием длины вектора, прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

Определение 3

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

Определение 4

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям: 1. Они сонаправлены; 1. Их длины равны (рис. 2).

Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ - единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.

Определение 5

Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

$\overline{c}={m,n}$

Как найти длину вектора?

Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

Пример 1

Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.

Решение.

Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно (рис. 3).

Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$, следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$, значит

$[OA_1 ]=x$, $[ OA_2]=y$

Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим

$|\overline{α}|^2=[OA_1]^2+[OA_2]^2$

$|\overline{α}|^2=x^2+y^2$

$|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.

Вывод: Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

Пример задач

Пример 2

Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.

Решение.

Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что

$\overline{XY}=(7+1,3-5)=(8,-2)$

Теперь, найдя длину этого вектора по формуле, выведенной выше, мы и получим искомую длину. Получим:

$d=\sqrt{8^2+(-2)^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$

Ответ: $2\sqrt{17}$.

Замечание 1

Из этой задачи можно вывести формулу для вычисления такого расстояния. Пусть две точки имеют координаты ${(x',y')}$ и ${(x'',y'')}$. Тогда длину между такими точками можно найти по следующей формуле:

$d=\sqrt{(x'-x'')^2+(y'-y'')^2}$

Пример 3

Пусть нам дан треугольник своими координатами вершин $(5,-9)$, $(12,-2)$ и $(4,0)$. Найдем его периметр.

Решение.

Найдем для начала длины всех его сторон по формуле из замечания к задаче 2.

Первая сторона равняется:

$\sqrt{(5-12)^2+(-9+2)^2}=\sqrt{(-7)^2+(-7)^2}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}$

Вторая сторона равняется:

$\sqrt{(5-4)^2+(-9-0)^2}=\sqrt{1^2+(-9)^2}=\sqrt{82}$

Третья сторона равняется:

$\sqrt{(12-4)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{8^2+(-2)^2 }=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$

Складывая, получим

Ответ: $7\sqrt{2}+\sqrt{82}+2\sqrt{17}$

spravochnick.ru

Как найти длину вектора по его координатам

Вопрос «Как найти длину вектора по его координатам» будем рассматривать в двух вариантах. 

  1. Вектор задан на плоскости

Если век-р задан на пл-сти, то он будет иметь две коорд-ты — по оси Ох и оси Оу. Чтобы найти его длину, необходимо вычислить квадр-й корень из суммы квадратов этих коорд-т. Рассмотрим век-р на пл-сти, заданный двумя коорд-ми .Ф-ла длины век-ра на пл-сти:

   

 Задание.Вычислить длину вектора . Решение.Используем ф-лу длины век-ра, заданного на пл-сти:

   

Подставим в эту ф-лу известные значения коорд-т век-ра и вычислим искомое значение:

   

 Ответ. . 

  1. Вектор задан в пространстве

Если век-р задан в пр-стве, то он будет иметь три коорд-ты — по оси Ох, оси Оу и оси Oz. Чтобы найти его длину, необходимо вычислить квадр-ный корень из суммы квадратов этих коорд-т. Рассмотрим век-р в пр-стве, заданный тремя коорд-ми .Ф-ла длины век-ра в пр-стве:

   

 Задание.Вычислить длину вектора . Решение.Используем ф-лу длины век-ра, который задан в прост-стве:

   

Подставим в эту ф-лу известные значения коорд-т век-ра и вычислим искомое значение:

   

 Ответ. .

ru.solverbook.com

как найти координаты конца вектора зная длину вектора и координату начала?

в общем случае - никак, потому что, например, в 3х мерном пространстве при известной длине вектора и его начале, геометрическим местом всех концов, удовлетворяющим Вашим условиям, будет сфера, т. е. бесконечное число точек, в 2х мерном пространстве - окружность, даже в одномерном пространстве у Вас будет выбор, какая из двух точек вам нужна.. . короче, для этого надо бы ещё знать направление вектора или (n-1) известную координату конца, если Вы находитесь в n-мерном пространстве, т. к. Вы сможете составить всего одно уравнение, связывающее координаты конца, координаты начала вектора и его длину.

в учебнике все написано. айда учить.

Матричным способом..

touch.otvet.mail.ru

Как определить длину вектора

Вектор характеризуется не только абсолютной длиной, но и направлением. Поэтому для того, чтобы «закрепить» его в пространстве используются различные системы координат. Именно зная координаты вектора можно определить его длину с помощью специальных математических формул.

Вам понадобится

  • - система координат;
  • - линейка;
  • - транспортир.

Инструкция

  • Если вектор находится на плоскости, то его начало и конец имеют координаты (x1;y1), (x2;y2). Чтобы найти его длину произведите следующие математические операции:: 1. Найдите координаты вектора, для чего из координат конца вектора, отнимаем координаты начала x=x2-x1, y=y2-y1.2. Возведите каждую из координат в квадрат и найдите их сумму x²+y². 3. Из числа, полученного при выполнении п.2, извлеките корень квадратный. Это и будет длина вектора, расположенного на плоскости.
  • В том случае если вектор располагается в пространстве, он имеет три координаты x, y и z, которые вычисляются по тем же правилам, что и для вектора, расположенного на плоскости. Найдите его длину, сложив квадраты всех трех координат, и извлеките из результата сложения корень квадратный.
  • Если известна одна из координат вектора и угол между ним и осью ОХ (если известен угол между осью OY и вектором то, чтобы найти искомый угол, отнимите его от 90º), найдите длину из соотношений, которые характеризуют полярные координаты: 1. длина вектора равна отношению координаты x к косинусу данного угла; 2. длина вектора равна отношения координаты y к синусу данного угла.
  • Чтобы найти длину вектора, который представляет собой сумму двух векторов, найдите его координаты, сложив соответствующие координаты, а затем найдите длину вектора, координаты которого известны.
  • Если же координаты векторов неизвестны, а известны только длины, перенесите один из векторов так, чтобы он начинался в той точке, где заканчивается второй. Измерьте угол между ними. Затем от суммы квадратов длин векторов отнимите их удвоенное произведение, умноженное на косинус угла между ними. Из полученного числа извлеките корень квадратный. Это и будет длина вектора, который является суммой двух векторов. Постройте его, соединив начало второго вектора с концом первого.

completerepair.ru

Вычисление длины (модуля) вектора в MS EXCEL. Примеры и методы

Найдем длину вектора по его координатам (в прямоугольной системе координат), по координатам точек начала и конца вектора и по теореме косинусов (задано 2 вектора и угол между ними).

Вектор – это направленный отрезок прямой. Длина этого отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.

1. Вычисление длины вектора по его координатам

Если даны координаты вектора в плоской (двухмерной) прямоугольной системе координат, т.е. известны ax и ay, то длину вектора можно найти по формуле

В случае вектора в пространстве добавляется третья координата

В MS EXCEL выражение =КОРЕНЬ(СУММКВ(B8:B9)) позволяет вычислить модуль вектора (предполагается, что координаторы вектора введены в ячейки B8:B9, см. файл примера).

Функция СУММКВ() возвращает сумму квадратов аргументов, т.е. в данном случае эквивалентна формуле =B8*B8+B9*B9.

В файле примера также вычислена длина вектора в пространстве.

Альтернативной формулой является выражение =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(B8:B9;B8:B9)).

2. Нахождение длины вектора через координаты точек

Если вектор задан через координаты точек его начала и конца, то формула будет другой =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C28:C29;B28:B29))

В формуле предполагается, что координаты точек начала и конца введены в диапазоны C28:C29 и B28:B29 соответственно.

Функция СУММКВРАЗН() возвращает сумму квадратов разностей соответствующих значений в двух массивах.

По сути, в формуле сначала вычисляются координаты вектора (разности соответствующих координат точек), затем вычисляется сумма их квадратов.

3. Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Если требуется найти длину вектора по теореме косинусов, то обычно заданы 2 вектора (их модули и угол между ними).

Найдем длину вектора с используя формулу =КОРЕНЬ(СУММКВ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

В ячейках B43:B43 содержатся длины векторов а и b, а в ячейке В45 - угол между ними в радианах (в долях числа ПИ()).

Если угол задан в градусах, то формула будет немного отличаться =КОРЕНЬ(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*ПИ()/180))

Примечание: для наглядности в ячейке со значением угла в градусах можно применить пользовательский формат, см. например, статью Отображение широты и долготы в MS EXCEL

4. Нахождение длины вектора через координаты точек треугольника

Пусть заданы 3 точки треугольника, образованного векторами.

Найдем длину вектора ВС через координаты соответствующих точек (аналогично 2-й задаче, рассмотренной выше) по формуле =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C54:C55;D54:D55)).

Зная координаты точек можно найти все длины сторон (длины векторов) и углы треугольника (по теореме косинусов).

5. Нахождение координат вектора через координаты точек

Сделаем в MS EXCEL удобную форму для вычисления координат вектора и его длины через координаты точек. Также отобразим как сами точки, так и сам вектор.

excel2.ru

Как найти координаты конца у вектора,если известны его координаты начала и длина?Я под формулу вставлял но извлечь отдут

В учебнике посмотри там все есть!

никак нужно знать направление еще более точно опишите задачу

Нужно к координате начала вектора прибавить длину проекции вектора на данную ось координат. При этом нужно смотреть, куда направлен вектор - по оси или против (в последнем случае в формуле будет минус) . Если вектор расположен прямо на оси ОХ - тогда координаты конца вектора таковы: 14; 0. В случае, если, располагаясь на оси ОХ, вектор направлен против оси - координаты его конца: -8; 0.

Никак нельзя найти. При известной длине возможно множество различных векторов, растущих из одной и той же точки. Их концы будут лежать на окружности.

touch.otvet.mail.ru