Как найти площадь равнобедренного треугольника. Как найти площадь равнобедренного треугольника если известны все стороны


Площадь равнобедренного треугольника - формула, пример расчета, калькулятор

Равнобедренным треугольником называется фигура с двумя равными сторонами. В этом случае третья сторона считается основанием, а равные стороны – боковыми.Если все стороны треугольника равны, то он считается правильным. Правильный треугольник также является равнобедренным.Равнобедренный треугольник отличается следующими свойствами:

  • Углы (α) при основании равны;
  • Биссектрисы, медианы и высоты, исходящие из этих углов также равны между собой;
  • Центры описанной и вписанной окружности лежат на одной прямой;
  • Биссектриса, медиана и высота, проведенные из угла β к основанию b, равны между собой.

Существует множество способов нахождения площади равнобедренного треугольника. Для начала рассмотрим классический метод, для которого потребуется высота и основание. Зная эти параметры можно применить формулу площади равнобедренного треугольника:

То есть площадь равнобедренного треугольника равняется произведению высоты на половину длины основания.

Рассмотрим пример расчета площади равнобедренного треугольника. Задача: дан треугольник, в котором основание равно 4 см, а высота 6 см. Найдите площадь. Подставляем данные в формулу: Площадь треугольника равняется 12 кв. см

Также найти площадь можно по формуле площади через три стороны, или как еще говорят – формуле Герона. Во многих случаях это значение находится через радиус вписанной окружности.Найти площадь фигуры через стороны, применив метод Герона, можно по этой формуле.

Это выражение можно преобразовать в сокращенную формулу:

Рассмотрим на примере. В равнобедренном треугольнике основание b= 3 см, а сторона a= 6 см. Подставим значения в формулу: или Зная стороны, мы легко определили, что S = 8,7 кв. см

Для вычислений можно использовать две равные стороны и угол между ними.

И снова смотрим пример: Стороны a = 6 см., а угол между ними 45°. По таблице синусов синус 45° равен 0.7071. Рассчитываем площадь: Площадь такого равнобедренного треугольника будет равна 12,6 квадратных сантиметра

2mb.ru

Как найти площадь равнобедренного треугольника? :: SYL.ru

Математика — это удивительная наука. Однако такая мысль приходит только тогда, когда ее понимаешь. Чтобы этого достичь, нужно решать задачи и примеры, чертить схемы и рисунки, доказывать теоремы.

Путь к пониманию геометрии лежит через решение задач. Отличным примером могут служить задания, в которых нужно найти площадь равнобедренного треугольника.

Что такое равнобедренный треугольник, и в чем его отличие от других?

Чтобы не пугаться терминов «высота», «площадь», «основания», «равнобедренного треугольника» и прочих, потребуется начать с теоретических основ.

Сначала о треугольнике. Это плоская фигура, которая образована из трех точек — вершин, в свою очередь, соединенных отрезками. Если два из них оказываются равны друг другу, то треугольник становится равнобедренным. Эти стороны получили название боковых, а оставшаяся стала основанием.

Существует частный случай равнобедренного треугольника — равносторонний, когда и третья сторона равна двум боковым.

Свойства фигуры

Они оказываются верными помощниками в решении задач, которые требуют найти площадь равнобедренного треугольника. Поэтому знать и помнить о них необходимо.

  • Первое из них: углы равнобедренного треугольника, одна сторона которых — основание, всегда равны друг другу.
  • Важным является и свойство о дополнительных построениях. Проведенные к непарной стороне высота, медиана и биссектриса совпадают.
  • Эти же отрезки, проведенные из углов при основании треугольника, попарно равны. Это тоже часто облегчает поиск решения.
  • Два равных угла в нем всегда имеют значение меньше чем 90º.
  • И последнее: вписанная и описанная окружности строятся так, что их центры лежат на высоте к основанию треугольника, а значит медиане и биссектрисе.

Как в задаче распознать равнобедренный треугольник?

Если при решении задания встает вопрос о том, как найти площадь равнобедренного треугольника, то сначала нужно понять, что он относится к этой группе. А в этом помогут определенные признаки.

  • Равны два угла или две стороны треугольника.
  • Биссектриса является еще и медианой.
  • Высота треугольника оказывается медианой или биссектрисой.
  • Равны две высоты, медианы или биссектрисы фигуры.

Обозначения величин, принятые в рассматриваемых формулах

Для упрощения того, как находить площадь равнобедренного треугольника по формулам, введена замена его элементов на буквы.

Обозначения в формулах
Буква в формулеНазвание
абоковая сторона
вдлина основания
нвысота к основанию
Аугол при основании
Ввеличина угла, лежащего между боковыми сторонами
общепринятое обозначениеплощадь

Внимание! Важно не путать «а» с «А» и «в» с «В». Это разные величины.

Формулы, которыми можно воспользоваться в разных задачах

Известны длины сторон, и требуется найти площадь равнобедренного треугольника.

В этом случае нужно возвести в квадрат оба значения. То число, которое получилось от изменения боковой стороны, умножить на 4 и вычесть из него второе. Из полученной разности извлечь квадратный корень. Длину основания разделить на 4. Два числа перемножить. Если записать эти действия буквами, то получится такая формула:

Пусть она будет записана под №1.

Найти по значениям сторон площадь равнобедренного треугольника. Формула, которая кому-то может показаться проще, чем первая.

Первым действием нужно найти половину основания. Потом найти сумму и разность этого числа с боковой стороной. Два последних значения перемножить и извлечь квадратный корень. Последним действием умножить все на половину основания. Буквенное равенство будет выглядеть так:

Это формула №2.

Способ найти площадь равнобедренного треугольника, если известны основание и высота к нему.

Одна из самых коротких формул. В ней нужно перемножить обе данные величины и разделить их на 2. Вот как она будет записана:

Номер этой формулы - 3.

В задании известны стороны треугольника и значение угла, лежащего между основанием и боковой стороной.

Здесь, для того чтобы узнать, чему будет равна площадь равнобедренного треугольника, формула будет состоять из нескольких множителей. Первый из них — это значение синуса угла. Второй равен произведению боковой стороны на основание. Третий — дробь ½. Общая математическая запись:

Порядковый номер формулы — 4.

В задаче даны: боковая сторона равнобедренного треугольника и угол, лежащий между его боковыми сторонами.

Как и в предыдущем случае, площадь находится по трем множителям. Первый равен значению синуса угла, указанного в условии. Второй — это квадрат стороны. И последний также равен половине единицы. В итоге формула запишется так:

Ее номер - 5.

Формула, которая позволяет найти площадь равнобедренного треугольника, если известны его основание и угол, лежащий напротив него.

Сначала нужно вычислить тангенс половины известного угла. Полученное число умножить на 4. Возвести в квадрат длину боковой стороны, которое потом разделить на предыдущее значение. Таким образом, получится такая формула:

Номер последней формулы - 6.

Примеры задач

Первая задача: известно, что основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а его высота - 5 см. Нужно определить его площадь.

Для ее решения логично выбрать формулу под номером 3. В ней все известно. Подставить числа и сосчитать. Получится, что площадь равна 10 * 5 / 2. То есть 25 см2.

Вторая задача: в равнобедренном треугольнике даны боковая сторона и основание, которые равны соответственно 5 и 8 см. Найти его площадь.

Первый способ. По формуле №1. При возведении в квадрат основания получается число 64, а учетверенный квадрат боковой стороны — 100. После вычитания из второго первого получится 36. Из него прекрасно извлекается корень, который равен 6. Основание, поделенное на 4, равно 2. Итоговое значение определится как произведение 2 и 6, то есть 12. Это ответ: искомая площадь равна 12 см2.

Второй способ. По формуле №2. Половина основания равна 4. Сумма боковой стороны и найденного числа дает 9, их же разность — 1. После умножения получается 9. Извлечение квадратного корня дает 3. И последнее действие, умножение 3 на 4, что дает те же 12 см2.

Совет: как полюбить математику

Решая задачи по геометрии и определяя, как найти площадь равнобедренного треугольника, можно получить неоценимый опыт. Чем больше различных вариантов заданий выполнено, тем проще найти ответ в новой ситуации. Поэтому регулярное и самостоятельное выполнение всех заданий — это путь к успешному усвоению материала.

www.syl.ru

100 формул / Все формулы площади треугольника

Через основание и высоту

\(S= \frac{1}{2} ah \)

 

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — сторона \(h\) — высота опущенная на стороне \(a\)

 

Через две стороны и угол между ними

 

\(S= \frac{1}{2} ab sin \alpha \)

 

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — сторона \(b\) — сторона \( \alpha \) — угол между сторонами \(a\) и \(b\)

 

Формула Герона

 

\(S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — сторона \(b\) — сторона \(c\) — сторона \(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

 

Через радиус вписанной окружности

 

\(S= rp \)

\(S\) — площадь треугольника \(r\) — радиус вписанной окружности \(a\) — сторона \(b\) — сторона \(c\) — сторона \(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

 

Через радиус описанной окружности

 

\(S= \frac{abc}{4R} \)

\(S\) — площадь треугольника \(R\) — радиус описанной окружности \(a\) — сторона \(b\) — сторона \(c\) — сторона

 

Площадь прямоугольного треугольника

 

\(S= \frac{1}{2} ab \)

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — сторона \(b\) — сторона

 

 

\(S= de \) \(S\) — площадь треугольника

 

Формула Герона для прямоугольного треугольника

 

\(S= (p-a)(p-b) \)

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — сторона \(b\) — сторона \(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

Площадь равнобедренного треугольника

\(S= \frac{1}{2} a^2 sin \alpha \)

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — боковая сторона \(\alpha\) — угол между боковыми сторонами

 

\(S= \frac{1}{2} ab sin \alpha \)

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — боковая сторона \(b\) — основание \(\alpha\) — угол между боковыми сторонами и основанием

 

\(S= \frac{b^2}{4tg \frac{ \alpha }{2}} \)

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — боковая сторона \(b\) — основание \(\alpha\) — угол между боковыми сторонами и основанием

 

Площадь равностороннего треугольника

 

\(S= \frac{ \sqrt{3}a^2}{4} \)

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — сторона

 

 

\(S= \frac{3 \sqrt{3}R^2}{4} \)

\(S\) — площадь треугольника \(R\) — радиус описанной окружности

 

 

\(S= 3 \sqrt{3}r^2 \)

\(S\) — площадь треугольника \(r\) — радиус вписанной окружности

 

 

\(S= \frac{h^2}{\sqrt{3}} \)

\(S\) — площадь треугольника \(h\) — высота

100formul.ru

Как найти площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник называется именно так из-за того, что его бедра (или боковые стороны) являются равными.Существует формула для вычисления площади равнобедренного треугольника, согласно которой нужно найти половину произведения высоты на основание треугольника:

   

Пример 1.Высота равнобедренного треугольника KLM равна 31 см, а основание — 38 см. Найдем площадь этого треугольника.

Решение.Воспользуемся формулой площади равнобедренного треугольника, в которую подставим известные величины и вычислим площадь: (кв. см).

Ответ. (кв. см).

Пример 2.Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а основание — 11 см. найдем его площадь.

Решение.Рассмотрим треугольник KLM.Проведем высоту LN к основанию этого треугольника.Согласно свойству равнобедренного треугольника высота также является и его медианой. Соответственно: (см).Рассмотрим треугольник KLN, который является прямоугольным. Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем его катет LN: (см).Найдем площадь: (кв. см).

Ответ. (кв. см).

ru.solverbook.com

Площадь треугольника. Онлайн-калькулятор

Онлайн-калькулятор для расчета площади треугольника поможет Вам найти площадь треугольника несколькими способами в зависимости от известных данных. Наш калькулятор не просто рассчитает площадь треугольника, но и покажет подробное решение, которое будет показано под калькулятором. Поэтому данный калькулятор удобно использовать не только для быстрых расчетов, но и для проверки своих вычислений. С помощью данного калькулятора вы сможете найти площадь треугольника по следующим формулам: через основание и высоту, через две стороны и угол, по трем сторонам (формула Герона), через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности.

Выберите способ расчета площади:

через основание и высотучерез две стороны и уголпо трем сторонам (формула Герона)через радиус вписанной окружностичерез радиус описанной окружности

Рассчитать

Треугольник – это геометрическая фигура, которая образована тремя отрезками. Эти отрезки называются сторонами треугольниками, а точки соединения отрезков – вершинами треугольника. В зависимости от соотношения сторон треугольники бывают нескольких видов: равнобедренный треугольник (две стороный треугольника равны между собой, эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника), равносторонний треугольник (у треугольника все три стороны равны), прямоугольный треугольник (один угол треугольника прямой).

Как найти площадь треугольника?

Найти площадь треугольника очень просто, достаточно воспользоваться нашим калькулятором или рассчитать самостоятельно, воспользовавшись формулой площади треугольника. В зависимости от того, какие данные известны, для расчета площади треугольника использует несколько способов:

1) через основание и высоту

a – основание треугольника, h – высота треугольника.

2) через две стороны и угол

a, b – стороны треугольника, α – угол между сторонами.

3) По трем сторонам. Формула Герона.

a, b, с – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника.

4) Через радиус вписанной окружности.

a, b, с – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.

5) Через радиус описанной окружности.

a, b, с – стороны треугольника, R – радиус описанной окружности.

Вы всегда сможете проверить правильность расчета площади треугольника с помощью нашего калькулятора.

calc.by

Как найти площадь равнобедренного треугольника?

Для того чтобы помочь своему ребенку с уроками, родители должны сами знать множество вещей. Как найти площадь равнобедренного треугольника, чем причастный оборот отличается от деепричастного, что такое ускорение свободного падения?

С любым из этих вопросов у ваших сына или дочери могут возникнуть проблемы, и они именно к вам обратятся за разъяснениями. Чтобы не упасть лицом в грязь и поддержать свой авторитет в детских глазах, стоит освежить в памяти некоторые элементы школьной программы.

Возьмем для примера вопрос о равнобедренном треугольнике. Геометрия в школе многим тяжело дается, а после школы быстрее всех забывается.

Но когда ваши дети пойдут в 8 класс, придется вспомнить формулы, касающиеся геометрических фигур. Равнобедренный треугольник — одна из самых простых фигур в плане нахождения ее параметров.

Начнем с объяснения терминов

Если все, что вы когда-то учили о треугольниках, забыто, давайте вспоминать. Равнобедренным называется такой треугольник, у которого 2 стороны имеют одинаковую длину. Эти равные между собой ребра называются боковыми сторонами равнобедренного треугольника. Третья же сторона — его основание.

Существует такой вариант, при котором равны между собой все 3 стороны. Он носит название равностороннего треугольника. На него распространяются все формулы, применяемые к равнобедренному, и в случае необходимости любую из его сторон можно назвать основанием.

Для нахождения площади нам понадобится разделить основание пополам. Прямая, опущенная к полученной точке из вершины, соединяющей боковые стороны, пересечет основание под прямым углом.

Таково уж свойство подобных треугольников: медиана, то есть прямая от вершины к середине противоположной стороны, в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой (прямой, делящей угол пополам) и его высотой (перпендикуляром к противоположной стороне).

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника, надо умножить его высоту на основание, а затем поделить это произведение пополам.

Для нахождения площади треугольника формула проста: S=ah/2, где а — длина основания, h — высота.

Наглядно это можно объяснить следующим образом. Вырежьте из бумаги аналогичную фигуру, найдите середину основания, проведите к этой точке высоту и аккуратно разрежьте по этой высоте. Получатся два прямоугольных треугольника.

Если приставить их друг к другу гипотенузами (длинными сторонами), то составится прямоугольник, одна сторона которого будет равна высоте нашей фигуры, а другая — половине ее основания. То есть подтвердится формула.

Наглядная демонстрация очень важна. Если ваш ребенок научится не бездумно запоминать формулы, а понимать их смысл, геометрия уже не покажется ему сложным предметом.

Лучшим учеником в классе становится не зазубривающий, а думающий и, главное, понимающий школьник.

Как найти площадь фигуры, если один угол прямой?

Может так оказаться, что угол между боковыми сторонами заданной треугольной фигуры составляет 90°. Тогда этот треугольник будет называться прямоугольным, его боковые стороны — катетами, а основание — гипотенузой.

Площадь такой фигуры можно вычислить вышеизложенным способом (находим середину гипотенузы, проводим к ней высоту, умножаем ее на гипотенузу, делим пополам). Но можно решить проблему гораздо проще.

Начнем с наглядности. Прямоугольный равнобедренный треугольник представляет собой ровно половину квадрата, если разрезать тот по диагонали. И если площадь квадрата находится простым возведением во вторую степень его стороны, то площадь нужной нам фигуры будет вдвое меньше.

S=a2/2, где а — длина катета.

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна половине квадрата его боковой стороны. Проблема оказалась не такой уж серьезной, какой была на первый взгляд.

Решение геометрических задач не требует сверхчеловеческих усилий и вполне может пригодиться не только детям, но и вам при нахождении ответов на какие-либо практические вопросы.

Геометрия — точная наука. Если вникнуть в ее основы, то трудностей с ней будет немного, а логичность доказательств может очень увлечь вашего ребенка. Нужно просто немного ему помочь. Какой бы хороший учитель ему ни достался, родительская помощь лишней не будет.

А в случае с изучением геометрии очень полезным станет метод, о котором говорилось выше, — наглядности и простоты объяснения.

Нужно постараться как можно дальше отойти от академической сухости учебника и заменить ее на живое и практичное объяснение.

При этом нельзя забывать о точности формулировок, иначе можно сделать эту науку гораздо сложней, чем она есть на самом деле.

lediznaet.ru

Формулы площади равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника (рис 1) с боковой стороной и основанием можно вычислить, используя следующие формулы:

1. Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

   или   

2. Площадь равна квадрату боковой стороны на синус угла при вершине:

   

3. Так как полупериметр равнобедренного треугольника равен

   

то в этом случае формула Герона примет вид:

   

4. Через радиус описанной окружности:

   

где – радиус описанной окружности.

5. Через радиус вписанной окружности и полупериметр:

   

где – радиус вписанной окружности.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com