1. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Как найти угол между плоскостью и вектором


Угол между прямой и плоскостью. Метод координат. Задание 14

В этой статье я расскажу, как находить угол между прямой и плоскостью c помощью  методом координат.

Для этого нам, как обычно, понадобятся  некоторые теоретические сведения.

1. Уравнение плоскости имеет вид

2. Важно! В этом уравнении плоскости  коэффициенты - координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).

 

3. Косинус угла между векторами  и  вычисляется по формуле:

4. Любой ненулевой вектор , лежащий на прямой , или параллельный прямой , называется направляющим вектором прямой.

5. Синус угла  между прямой  и плоскостью  равен косинусу угла  между нормалью () к плоскости и направляющим вектором прямой (), поскольку  

То есть синус угла  между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты  и плоскостью, заданной уравнением  вычисляется по формуле:

Решим задачу:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.

 

Введем систему координат:

Начало координат поместим в точку В, поэтому все координаты этой точки равны нулю.

Запишем уравнение плоскости SBC. Для этого найдем координаты точек S, B и C и подставим их в уравнение плоскости 

(все ребра пирамиды равны 1)

Чтобы найти координаты точки S сначала найдем координаты ее проекции на плоскость основания, а затем ее координаты по оси OZ:

Так как плоскость SBC проходит через начало координат, ,

Получим систему уравнений:

Отсюда , .

Уравнение плоскости имеет вид:

. Разделим обе части равенства на с, получим:

.

Таким образом, вектор нормали к плоскости SBC имеет координаты:

Найдем координаты направляющего вектора прямой BD. Для этого найдем координаты точек B и D, а затем из координат конца вычтем координаты начала.

D(1;1;0)

B(0;0;0), 

Ответ: 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Угол между плоскостями и вектор нормали. Задание С2

В этой статье я еще раз покажу вам решение задачи на нахождение угла между плоскостями с помощью метода координат. Мы воспользуемся тем фактом, что угол между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими  нормали к этим плоскостям.

Задача такая:

Основание прямой четырехугольной призмы - прямоугольник , в котором , . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра  перпендикулярно прямой , если расстояние между прямыми  и  равно 5. 

Геометрическое решение этой задачи весьма неочевидно, однако, с помощью метода координат она решается в одно действие.

Заметим несколько важных вещей:

1.  Угол между плоскостью основания и плоскостью, перпендикулярной прямой , не зависит от точки, через которую проведена эта плоскость. Поэтому мы эту точку даже не будем наносить на чертеж.

2. Прямые  и  лежат в параллельных плоскостях  и , поэтому расстояние между ними равно расстоянию между плоскостями, то есть высоте призмы. Отсюда  .

3. Боковые ребра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания.

Поместим нашу призму в систему координат и нанесем на чертеж данные задачи:

Вспомним, что

1. В уравнении плоскости  коэффициенты являются координатами вектора нормали к плоскости.

2. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими нормали к этим плоскостям (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами)

Получается, что в этой задаче нам нужно найти угол между вектором  ( по условию задачи плоскость проведена перпендикулярно прямой ) и вектором  (это вектор нормали к плоскости основания).

Косинус угла   между векторами  и  вычисляется по формуле:

Найдем координаты вектора 

Пусть   - угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра  перпендикулярно прямой .

Тогда 

Ответ: 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Угол между прямой и плоскостью онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямой и плоскостью. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямой и плоскостью введите элементы уравнения и плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть смотрите ниже.

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Угол между прямой и плоскостью − теория, примеры и решения

В данной статье мы рассмотрим задачу определения угла φ между прямой L, заданной каноническим уравнением

(1)

и плоскостью P, заданной общим уравнением

где q=(m, l, p) направляющий вектор прямой L, а n=(A, B, C) нормальный вектор плоскости P.

Нормальный вектор плоскости n и направляющий вектор прямой q могут составить острый угол, прямой угол и тупой угол.

Вариант 1. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q острый (Рис.1):ψ<90°. Тогда имеем:

cosψ=cos(90−φ)=sinφ.(3)

Вариант 2.Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q:ψ=90°. Тогда имеем:

Вариант 3.Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q тупой (Рис.2):ψ>90°.

Тогда имеем:

cosψ=cos(90+φ)=−sinφ.(4)

Поскольку угол φ между прямой и плоскостью всегда меньше или равно 90°, то

Из определения скалярного произведения векторов имеем:

(6)

Из уравнений (5) и (6) можно найти синус угла φ

(7)

или

(8)

Из формулы (8) можно найти угол между прямой L и плоскостью P.

Пример 1. Найти угол между прямой L:

и плоскостью P:

Решение.

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(1, 3, 2). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(2, 6, 1).

Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P получим следующую формулу:

Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (11), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Ответ:

 

Пример 2. Найти угол между прямой L:

и плоскостью P:

Решение.

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(4, 1, 3). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(8, 2, 6).

Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P получим следующую формулу:

Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (14), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Ответ:

Замечание. Мы могли бы избежать вышеизложенных вычислений, если заметили, что векторы n и q коллинеарны. Действительно:

В этом случае прямая L и плоскость P перпендикулярны, т. е. угол между ними равен 90°.

matworld.ru

Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Вы уже знакомы с понятиями угла между прямыми и угла между векторами. А также знаете, что такое двугранный угол и угол между прямой и плоскостью.

Сегодня мы научимся вычислять углы между прямыми, а также между прямой и плоскостью.

Но для начала введём понятие направляющего вектора.

Определение:

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой а, если он лежит либо на прямой а, либо на прямой, параллельной прямой а.

Понятно, что таких векторов бесконечно много и все они коллинеарны.

Задача: найти угол между прямыми, если известны координаты направляющих векторов этих прямых.

Будем работать с прямыми а и b. Для прямой a направляющим является вектор p, а для прямой b — вектор q.

Итак, возможны два случая.

Если угол  между направляющими векторами острый, то он равен углу между прямыми .

И если угол  между направляющими векторами тупой, то угол  между прямыми равен 180о – .

Так как в первом случае косинус угла между прямыми равен косинусу угла между направляющими векторами, то мы можем вычислить его по известной формуле косинуса угла между векторами.

Ну, а во втором случае записан косинус угла смежного с углом . Косинусы смежных углов противоположны по знаку, поэтому мы получим выражение противоположное тому, которое было получено в первом случае.

Угол между прямыми всегда меньше либо равен 90о, поэтому его косинус соответственно будет являться числом неотрицательным. Тогда оба случая можно объединить в один и записать, что косинус угла между прямыми равен частному модуля скалярного произведения направляющих векторов и произведения их длин.

А сейчас найдём угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора к прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.

Вам уже известно, что углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Обозначим этот угол за . А угол между направляющим вектором и вектором, перпендикулярным к плоскости обозначим за .

Эти углы в сумме дают 90о (то есть углы  и  являются дополнительными). А нам известно, что синус угла равен косинусу дополнительного угла. Это означает, что .

Ну, а  между векторами  и  мы без труда найдём по уже известной формуле:

Но ведь возможен и случай, когда угол между векторами  и  тупой.

Тогда углы  и  являются дополнительными, то есть их сумма равна .

Отсюда можно записать, что .

Ну, а формула косинуса угла между векторами нам уже известна.

Чтобы объединить две полученных формулы в одну, можно вспомнить, что синус угла от нуля до 180о  является числом неотрицательным. Тогда можно записать, что

Таким образом, мы получили формулы косинуса угла между прямыми и синуса угла между прямой и плоскостью. Причём правые части эти формул абсолютно совпадают.

Отличие лишь в том, что две прямые задают направляющие векторы.

А прямую и плоскость — направляющий вектор прямой и вектор, перпендикулярный к плоскости.

Такой вектор называют нормальным вектором к плоскости.

Решим несколько задач.

Задача:  прямоугольный параллелепипед, где . Найти  и .

Решение: ранее в таких случаях мы пытались по рисунку находить величины углов.

Но теперь мы владеем формулой косинуса угла между прямыми.

Только для этого необходимо знать координаты направляющих векторов прямых. В данном случае, для прямой  направляющим может является вектор , а для прямой  — вектор .

Для удобства изобразим прямоугольную систему координат так, чтобы точка  совпадала с точкой начала координат. Взяв длину рёбер  и  за единичные отрезки, можно утверждать, что длина отрезка  равна 2.

Тогда не трудно определить координаты точек , ,  и .

Точка . Точка . Точка . А точка .

Теперь не трудно найти координаты векторов  и  как разности соответствующих координат конца и начала вектора.

Получаем, что вектор . А вектор .

Теперь можем воспользоваться формулой косинуса угла между прямыми. Подставим координаты направляющих векторов.

А теперь, пользуясь фрагментом из таблицы Брадиса, найдём величину данного угла, помня о том, что поправка для косинуса имеет знак минус:

Итак, угол между прямыми .

Теперь найдём угол между прямыми  и .

В качестве направляющих векторов для данных прямых удобно взять векторы  и .

Найдём координаты точек ,  и .

Точка А имеет координаты . Точка . А точка .

Тогда вектор . А вектор .

Подставим значения координат направляющих векторов в формулу косинуса угла между прямыми.

В ходе вычислений получаем

Вычислив примерное значение этой дроби, можем воспользоваться таблицей Брадиса:

Так получаем, что угол между прямыми .

Вот так по координатам направляющих векторов находят величину угла между прямыми.

Задача:  тетраэдр. . , а .

Вычислить синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер  и , и плоскостью: а) ; б) ; в) .

Решение: По условию рёбра ,  и  взаимно перпендикулярны. Поэтому можно изобразить прямоугольную систему координат так, чтобы точка  совпадала с точкой начала координат.

Тогда зная длины рёбер ,  и  не трудно отметить единичные отрезки и определить координаты всех вершин.

Мы с вами будем находить синус угла между прямой и каждой из данных плоскостей.

Сначала разберёмся с прямой. Она проходит через середины рёбер  и , пусть это будут точки  и . И для вычисления синуса угла нужно знать координаты направляющего вектора. В качестве направляющего вектора можно взять вектор .

Координаты точки  найдём как координаты середины отрезка . Каждая из них равна полусумме соответствующих координат точек  и . Так получаем,

, .

Аналогично найдём координаты точки , как полусумму соответствующих координат точек  и . Получаем , .

Теперь можем найти координаты вектора как разности соответствующих координат.

Получаем, что направляющий вектор данной прямой имеет координаты .

Также для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью необходимо знать координаты нормального вектора к плоскости, то есть перпендикулярного к ней.

Задача: Доказать, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен .

Решение: изобразим прямоугольную координатную плоскость так, чтобы координатные оси совпадали с рёбрами куба.

Обозначим буквами вершины куба, через которые проходят данные скрещивающиеся прямые. Найдём угол между прямыми .

Пусть длина единичных отрезков на осях равна длине ребра куба.

Тогда в такой системе координат нетрудно найти координаты точек О, О1, О2 и О3.

А теперь найдём координаты векторов ОО1 и О2О3, которые являются направляющими для данных прямых.

Вектор . А вектор .

Найдём косинус угла между данными прямыми, подставив в формулу координаты направляющих векторов.

В ходе вычислений получаем, что

А значит, угол между прямыми .

Что и требовалось доказать.

Итоги:

На этом уроке мы получили формулу вычисления косинуса угла между прямыми по координатам их направляющих векторов. А также формулу вычисления синуса угла между прямой и плоскостью по координатам направляющего вектора данной прямой и нормального вектора данной плоскости.

videouroki.net

Как вычислить углы между векторами? :: SYL.ru

При изучении геометрии немало вопросов возникает по теме векторов. Особенные трудности обучающийся испытывает при необходимости найти углы между векторами.

Основные термины

Перед тем как рассматривать углы между векторами, необходимо ознакомиться с определением вектора и понятием угла между векторами.

Вектором называют отрезок, имеющий направление, то есть отрезок, для которого определено его начало и конец.

Углом между двумя векторами на плоскости, имеющих общее начало, называют меньший из углов, на величину которого требуется переместить один из векторов вокруг общей точки, до положения, когда их направления совпадут.

Формула для решения

Поняв, что собой представляет вектор и как определяется его угол, можно вычислить угол между векторами. Формула решения для этого достаточно проста, и результатом её применения будет значение косинуса угла. Согласно определению, он равен частному скалярного произведения векторов и произведения их длин.

Скалярное произведение векторов считается как сумма помноженных друг на друга соответствующих координат векторов-сомножителей. Длина вектора, или его модуль, вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.

Получив значение косинуса угла, вычислить величину самого угла можно с помощью калькулятора или воспользовавшись тригонометрической таблицей.

Пример

После того как вы разберетесь с тем, как вычислить угол между векторами, решение соответствующей задачи станет простым и понятным. В качестве примера стоит рассмотреть несложную задачу о нахождении величины угла.

Первым делом удобнее будет вычислить необходимые для решения значения длин векторов и их скалярного произведения. Воспользовавшись описанием, представленным выше, получим:

Подставив полученные значения в формулу, вычислим значение косинуса искомого угла:

Это число не является одним из пяти распространённых значений косинуса, поэтому для получения величины угла, придётся воспользоваться калькулятором или тригонометрической таблицей Брадиса. Но перед тем, как получить угол между векторами, формула может быть упрощена, чтобы избавиться от лишнего отрицательного знака:

Итоговый ответ для сохранения точности можно оставить в таком виде, а можно вычислить значение угла в градусах. По таблице Брадиса его величина составит примерно 116 градусов и 70 минут, а калькулятор покажет значение 116,57 градуса.

Вычисление угла в n-мерном пространстве

При рассмотрении двух векторов в трёхмерном пространстве, понять, о каком угле идёт речь гораздо сложнее, если они не лежат в одной плоскости. Для упрощения восприятия можно начертить два пересекающихся отрезка, которые образуют наименьший угол между ними, он и будет искомым. Несмотря на наличие третьей координаты в векторе, процесс того, как вычисляются углы между векторами, не изменится. Вычислите скалярное произведение и модули векторов, арккосинус их частного и будет являться ответом на данную задачу.

В геометрии нередко встречаются задачи и с пространствами, имеющими больше трёх измерений. Но и для них алгоритм нахождения ответа выглядит аналогично.

Разница между 0 и 180 градусами

Одна из распространённых ошибок при написании ответа на задачу, рассчитанную на то чтобы вычислить угол между векторами, - решение записать, что векторы параллельны, то есть искомый угол получился равен 0 или 180 градусам. Этот ответ является неверным.

Получив по итогам решения значение угла 0 градусов, правильным ответом будет обозначение векторов как сонаправленных, то есть у векторов будет совпадать направление. В случае получения 180 градусов векторы будут носить характер противоположно направленных.

Специфические векторы

Найдя углы между векторами, можно встретить один из особых типов, помимо описанных выше сонаправленных и противоположно направленных.

  • Несколько векторов параллельных одной плоскости называются компланарными.
  • Векторы, одинаковые по длине и направлению, называются равными.
  • Векторы, лежащие на одной прямой, независимо от направления, именуются коллинеарными.
  • Если длина вектора равна нулю, то есть его начало и конец совпадают, то его называют нулевым, а если единице, то единичным.

www.syl.ru

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов — урок. Геометрия, 11 класс.

Угол между векторами

Два вектора a→ и b→ всегда образуют угол.

Угол между векторами может принимать значения от 0° до 180° включительно.

Если векторы не параллельны, то их можно расположить на пересекающихся прямых.

 

Векторы могут образовать:

 

1. Острый угол

 

2. Тупой угол

 

3. Прямой угол (векторы перпендикулярны)

 

Если векторы расположены на параллельных прямых, то они могут образовать:

 

4. Угол величиной 0° (векторы сонаправлены)

 

5. Угол величиной 180° (векторы противоположно направлены)

 

Если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между ними будет равен 0°.

 

Угол между векторами записывают так:

a→b→ˆ=α

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:a→⋅b→=a→⋅b→⋅cosa→b→ˆ

Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число, соответственно, их произведение также будет являться числом.

1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число). 

Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен 0°, а косинус равен \(1\), скалярное произведение также будет положительным.

 

2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число). 

Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен 180°. Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен \(-1\).

 

Справедливы и обратные утверждения:

1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.

 

2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.

Особенный третий случай:

Обрати внимание!

3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю, так как косинус прямого угла равен \(0\).

Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

Вектор, умноженный на самого себя будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора  равен квадрату длины данного вектора и обозначается как a→2.

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:

1. a→2≥0, к тому же a→2>0 если a→≠0→.

 

2. Переместительный или коммутативный закон скалярного произведения: a→⋅b→=b→⋅a→.

 

3. Распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения: a→+b→⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→.

 

4. Сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения: k⋅a→⋅b→=k⋅a→⋅b→.

Использование скалярного произведения

Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью.

  

Угол между прямыми

 

Ознакомимся с ещё одним определением.

Вектор называют направляющим вектором прямой, если он находится на прямой или параллелен этой прямой.

 

Чтобы определить косинус угла между прямыми, надо определить косинус угла между направляющими векторами этих прямых, то есть найти векторы, параллельные прямым, и определить косинус угла между векторами.

Для этого необходимо рассмотреть определение скалярного произведения, если векторы даны в координатной системе.

Если a→x1;y1;z1, b→x2;y2;z2, то a→⋅b→=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2.

Прежде была рассмотрена формула определения длины вектора в координатной форме.

Теперь, объединив эти формулы, получим формулу для определения косинуса угла между векторами в координатной форме. Так как из формулы скалярного произведения следует, что cosα=a→⋅b→a→⋅b→, то

cosα=x1⋅x2&plus;y1⋅y2&plus;z1⋅z2x12&plus;y12&plus;z12 ⋅x22&plus;y22&plus;z22.

  

Угол между прямой и плоскостью

  

Введём понятие о нормальном векторе плоскости.

Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

 

Используя следующий рисунок, легко доказать, что косинус угла β между нормальным вектором n→ данной плоскости и неким вектором b→ равен синусу угла α между прямой и плоскостью, так как α и β вместе образуют угол в 90°.

 

 

При нахождении косинуса угла между n→ и b→ можно использовать это число как синус угла между прямой, на которой лежит вектор b→, и плоскостью.

www.yaklass.ru

Угол между векторами, формулы и примеры

Определение и формула угла между векторами

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Угол между двумя векторами и , имеющими общее начало, – это наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг точки приложения до положения, когда он станет сонаправленным с другим вектором (рис. 1).

Косинус угла между векторами и равен скалярному произведению векторов , деленному на произведение модулей (длин) этих векторов, то есть

   

Если векторы сонаправлены, то величина угла между ними равна (на рисунке 2 угол между векторами и ). Угол между противоположно направленными векторами равен (если совместить начала векторов и , изображенных на рисунке 2, то они будут сторонами развернутого угла).

Примеры нахождения углов между векторами

ПРИМЕР
Задание Найти угол между векторами и
Решение Вначале вычислим скалярное произведение заданных векторов, оно равно сумме произведений соответствующих координат векторов-сомножителей:

   

Модули заданных векторов равны корню квадратному из суммы квадратов координат:

   

   

Тогда косинус искомого угла

   

А тогда сам угол

   

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com