Свойства хорды в окружности. Определение окружности хорды


Окружность, круг, радиус, диаметр, секущая, хорда. Сегмент, сектор.

Тестирование онлайн

Определение окружности, круга. Радиус

Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра).

Равные отрезки, соединяющие центр с точками окружности, называются радиусами.

Круг - часть плоскости, лежащая внутри окружности.

Хорда, дуга, диаметр

Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей, а ее отрезок, лежащий внутри окружности, - хордой. Хорда, проходящая через центр О, называется диаметром. Диаметр равен двум радиусам.

Часть окружности называется дугой.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности.

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Касательная к окружности

Касательная - прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Обратная теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Перпендикуляр, проведенный из середины хорды до пересечения с дугой называется стрелкой дуги. Длина стрелки называется высотой сегмента.

Сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги.

Сектор, отсекаемый радиусами, образующими угол 900, называется квадрантом.

fizmat.by

Что называется хордой окружности в математике и геометрии: определение, основные свойства

Хорда в переводе с греческого означает «струна». Это понятие широко применяется в разных областях науки — в математике, биологии и других.

В геометрии для термина определение будет следующим: это отрезок прямой линии, который соединяет между собой две произвольные точки на одной окружности. Если такой отрезок пересекает центр кривой, она называется диаметром описываемой окружности.

Как построить геометрическую хорду

Чтобы построить этот отрезок, прежде всего необходимо начертить круг. Обозначают две произвольные точки, через которые проводят секущую линию. Отрезок прямой, который располагается между точками пересечения с окружностью, называется хордой.

Это интересно: в геометрии луч – это что такое, основное понятие.

Если разделить такую ось пополам и из этой точки провести перпендикулярную прямую, она будет проходить через центр окружности. Можно провести обратное действие — из центра окружности провести радиус, перпендикулярный хорде. В этом случае радиус разделит её на две идентичные половины.

Если рассматривать части кривой, которые ограничиваются двумя параллельными равными отрезками, то эти кривые тоже будут равными между собой.

Свойства

Существует ряд закономерностей, связывающих между собой хорды и центр круга:

  1. Если расстояния от хорд до центра равны между собой, то такие хорды тоже равны между собой.
  2. Существует также обратная зависимость — если длины отрезков равны между собой, то расстояния от них до центра тоже будут равными.
  3. Чем большую длину имеет стягивающий отрезок прямой, тем меньше расстояние от него до центра окружности. И наоборот, чем она меньше, чем расстояние от указанного отрезка до центра описываемого круга больше.
  4. Чем больше расстояние от «струны» до центра, тем меньше длина этой оси. Справедливой будет также и обратная взаимосвязь — чем меньше расстояние от центра до хорды, тем больше длина.
  5. Хорда в геометрии, которая имеет максимально возможную для этой окружности длину, называется диаметром круга. Такая ось проходит через центр и делит её на две равные части.
  6. Отрезок с наименьшей длиной представляет собой точку.
  7. Если ось представляет собой точку, то расстояние от неё до центра круга будет равняться радиусу.

Это интересно: разность векторов, определение разности.

Взаимосвязь с радиусом и диаметром

Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями:

  1. Если описываемый отрезок не является диаметром этого круга, и этот диаметр делит его пополам, то эта ось и диаметр перпендикулярны между собой.
  2. С другой стороны, диаметр, который перпендикулярен любой произвольной стягивающей, делит её на две равные части.
  3. Если ось не является диаметром, и последний делит её на две равные части, то он делит пополам и обе дуги, которые стянуты этим отрезком.
  4. Если диаметр делит на две одинаковые части дугу, то этот же диаметр делит пополам отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если диаметр строго перпендикулярен описываемой величине, то он делит на две половины каждую дугу, которую ограничивает эта линия.
  6. Если диаметр круга делит пополам отрезок кривой, то он располагается перпендикулярно оси, которая этот отрезок стягивает.

Хорда и радиус

Между этими понятиями существуют следующие связи:

  1. Если стягивающий отрезок не служит диаметром круга, и радиус разделяет её пополам, то такой радиус является перпендикулярным ей.
  2. Существует также обратная зависимость — радиус, который перпендикулярен оси, делит её на две одинаковые составные части.
  3. Если ось не выступает диаметром этого круга, и радиус делит её пополам, то этот же радиус делит пополам и дугу, которая стягивается.
  4. Радиус, который делит пополам дугу, также делит и отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если радиус является перпендикулярным стягивающей линии, то он делит пополам часть кривой, которую она ограничивает.
  6. Если радиус окружности разделяет на две идентичные части дугу, то он является перпендикулярным линии, которая эту дугу стягивает.

Отношения со вписанными углами

Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам:

  1. Если углы, вписанные в окружность, опираются на одну и ту же линию, и их вершины расположены по одну сторону, то такие углы равны между собой.
  2. Если два вписанных в круг угла опираются на одну и ту же линию, но их вершины расположены по разные стороны этой прямой, то сумма таких углов будет равняться 180 градусам.
  3. Если два угла — центральный и вписанный — опираются на единую линию, и их вершины располагаются по одну сторону от неё, то величина вписанного угла будет равняться половине центрального.
  4. Вписанный угол, который опирается на диаметр круга, является прямым.
  5. Равные между собой по размеру отрезки стягивают равные центральные углы.
  6. Чем больше величина стягивающего отрезка, тем больше величина центрального угла, который она стягивает. И наоборот, меньшая по размеру линия стягивает меньший центральный угол.
  7. Чем больше центральный угол, тем больше величина отрезка прямой, который его стягивает.

Взаимодействия с дугой

Если два отрезка стягивают участки кривой, одинаковые по размеру, то такие оси равны между собой. Из этого правила вытекают следующие закономерности:

  1. Две равные между собой хорды стягивают равные дуги.
  2. Если рассматривать две дуги, размер которых меньше половины окружности, то чем больше дуга, тем больше хорда, которая будет её стягивать. Напротив, меньшая дуга будет стягиваться меньшей по величине хордой.
  3. Если же дуга превышает половину окружности, то здесь присутствует обратная закономерность: чем меньше дуга, тем больше хорда, которая её стягивает. И чем больше дуга, тем меньше ограничивающая её хорда.

Хорда, которая стягивает ровно половину окружности, является её диаметром. Если две линии на одной окружности параллельны между собой, то будут равными и дуги, которые заключены между этими отрезками. Однако не следует путать заключённые дуги и стягиваемые теми же линиями.

obrazovanie.guru

Хорда (геометрия) - это... Что такое Хорда (геометрия)?

У этого термина существуют и другие значения, см. Хорда. 1 — секущая, 2 — хорда AB (отмечена красным цветом), 3 — сегмент (отмечен зеленым цветом), 4 — дуга

Хорда в планиметрии — отрезок прямой линии, соединяющей две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы).

Хорда находится на секущей прямой — прямой линии, пересекающей кривую в двух или более точках. Плоская фигура, заключённая между кривой и её хордой называется сегмент.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметр. Диаметр — это самая длинная хорда в окружности.

Свойства хорд

  • Хорды являются равноудаленными от центра окружности тогда и только тогда, когда они равны по длине.
  • Перпендикуляр с середины хорды окружности проходит через центр этой окружности.
  • Радиус, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам.
  • Дуги, заключенные между равными хордами, равны.
  • Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
  • При пересечении двух хорд окружности, получаются отрезки, произведение которых у одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
  • Дуга AB равна дуге CD. Дуга BC равна дуге DA

  • Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AE×EB = CE×ED

Основные формулы

Длина хорды:

Связанные понятия и утверждения

Ссылки

dic.academic.ru

Что такое окружность | Треугольники

Как и треугольники, окружность является одной из основных геометрических фигур. Что же такое окружность?

Определение.

точка О — центр окружности

Окружность — это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, расположенных на одинаковом расстоянии от данной точки.

Эта точка называется центром окружности.

 

 

 

OA — радиус окружности

 

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой, называется радиусом окружности.

 

 

 

Радиус обычно обозначают R или r.

Расстояние от центра окружности до любой ее точки равно длине радиуса: OA=R.

 

MK, FK — хорды окружности

 

Отрезок, соединяющий любые две точки окружности, называется хордой окружности.

 

 

 

BC — диаметр окружности

 

Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.

Центр окружности является серединой любого диаметра.

 

 

Диаметр окружности обычно обозначают d: BC=d.

Диаметр является наибольшей из всех хорд окружности.

Диаметр окружности в два раза больше длины ее радиуса: d=2R.

 

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из таких частей называется дуга окружности.

Если назвать дугу окружности двумя буквами — CD — непонятно, о какой из частей идет речь.

Добавив к названию дуги третью букву, определяем дугу однозначным образом:

 дуга CFD или дуга CHD.

www.treugolniki.ru

Свойства хорды в окружности, с примерами

Хорда является частью секущей окружности.

Свойства хорды

  1. Хорды, равноудаленные от центра окружности, равны.
  2. Хорды окружности равны, если они стягивают равные центральные углы.
  3. Если диаметр перпендикулярен хорде, то он проходит через ее середину.
  4. Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны.
  5. Дуги, заключенные между двумя равными хордами, равны.
  6. Любая пара вписанных углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°:

       

  7. Если хорда стягивает дугу с градусной мерой , то ее длина

       

  8. Для любых двух хорд и , пересекающихся в точке О, выполняется:

       

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Длина хорды окружности

В элементарной геометрии хордой называют отрезок прямой линии, который соединяет две точки, лежащие на некоторой кривой (окружности, эллипсе, параболе). Хорда, которая проходит через центр окружности, называется ее диаметром.

Определение длины хорды окружности

 

 

Длина хорды окружности может быть определена по формуле:

L = 2r × sin ( α / 2 )

 

L – хорда

r – радиус окружности

O – центр окружности

α – центральный угол

 

Следует заметить, что такую величину, как длина хорды, инженерам, конструкторам различных машин и механизмов, а также архитекторам приходится вычислять не так уж и редко. Чаще всего этот параметр необходим для того, чтобы правильно сконструировать и разметить весьма распространенные в технике фланцевые соединения.

Основные их элементы, фланцы, представляют собой плоские кольца, на которых на одинаковом друг от друга расстоянии располагаются отверстия, куда устанавливаются резьбовые шпильки или болты. Фланцы используются для соединения между собой участков различных трубопроводов и валов, причем применяются они в большинстве случаев попарно. Для того чтобы определить, в каких именно местах при изготовлении этих деталей следует просверлить отверстия, необходимо знать, какова длина хорды окружности, проходящей через их центры. При этом имеется в виду та хорда, которая располагается между центрами соседних отверстий. Зная этот параметр, можно не только составить правильный чертеж, по которому в дальнейшем будут производиться фланцы, но и впоследствии проконтролировать точность их изготовления. С большой точностью определить такой параметр, как длина хорды, требуется и тогда, когда разрабатываются детали машин и механизмов, имеющих форму криволинейных скоб: именно он определяет расстояние между конечными точками этих изделий.

Важную роль длина хорды играет и в баллистике – науке, изучающей движение тел, брошенных в пространстве. Дело в том, что перемещаются они по эллиптической траектории, и для того чтобы определить такой параметр, как, скажем, расстояние по прямой, которое при тех или иных условиях преодолеет пуля или баллистическая ракета, требуется вычислить именно длину хорды. При этом специалистами используются достаточно сложные математические методы и формулы, учитывающие большое количество различных параметров, и для того, чтобы определить такую, казалось бы, простую величину, как длина хорды, в баллистике широко применяется современная высокопроизводительная вычислительная техника.

Что касается хорд в архитектуре, то их чаше всего можно встретить там, где используются различные сводчатые и арочные конструкции. Например, для того, чтобы точно рассчитать ширину дверного проема, верхняя часть которого выполнена в виде арки, требуется вычислить именно такой параметр, как длина хорды. При проектировании строений, которые увенчаны куполами (например, христианские храмы), архитекторам также в обязательном порядке нужно пользоваться формулами расчета хорд для того, чтобы правильно определить параметры снования этих конструкций (например, требуемые их диаметры).

simple-math.ru

Ответе плиз. Что такое определение? Дайте определение окружности, что такое центр , радиус , хорда и диаметр окружности

ОКРУЖНОСТЬ - геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС - равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА - отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР - хорда, проходящая через центр окружности.

Всё есть в учебнике "Геометрия 7-9".

НАТАЛЬЯ СУЧКА

ОКРУЖНОСТЬ - геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС - равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА - отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР - хорда, проходящая через центр окружности.

Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от данной точки (центра окружности) на заданное расстояние (радиус окружности) Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Кругом называется геометрическое место точек удаленных от данной точки (центра круга) неболее чем на заданное расстояние (радиус круга) Секущая - это прямая, имеющая с окружностью две общие точки (на рисунке 1 показана секущая l ). Отрезок секущей, лежащий внутри окружности, называется хордой (на рисунке 1 показана хорда АВ). Итак, Хордой называется отрезок соединяющий две произвольные (несовпадающие) точки окружности. Части, на которые хорда разбивает круг , называются сегментами. В случае, когда хорда совпадает с диаметром, эти сегменты превращаются в полукруги. Диаметром называют хорду, проходящую через центр окружности. Сектором круга называют часть круга, ограниченная двумя его радиусами и дугой окружности, соединяющей концы этих радиусов

в учебнике написано

ОКРУЖНОСТЬ - геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС - равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА - отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР - хорда, проходящая через центр окружности.

ОКРУЖНОСТЬ - геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС - равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА - отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР - хорда, проходящая через центр окружности.

ОКРУЖНОСТЬ - геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС - равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА - отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР - хорда, проходящая через центр окружности.

ОКРУЖНОСТЬ - геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС - равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА - отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР - хорда, проходящая через центр окружности.

Определение - объяснение понятия, опирающееся на начальные понятия (например, понятие "точка") или на определенные ранее. Окружность - это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной точки плоскости. Центр окружности - точка плоскости, равноудаленная от всех точек окружности. Радиус окружности - равные отрезки, соединяющие центр с точками окружности. Хорда - отрезок, соединяющий любые две точки окружности. Диаметр окружности - хорда, проходящая через центр.

ОКРУЖНОСТЬ - геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС - равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА - отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР - хорда, проходящая через центр окружности.

touch.otvet.mail.ru