Площадь треугольника через радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности в треугольнике как найти


Радиус вписанной в треугольник окружности

Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по одной общей формуле.

Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.

Радиус вписанной в треугольник окружности для произвольного треугольника

Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник: 

   

где S — площадь треугольника, p — его полупериметр.

Для треугольника со сторонами a, b, c полупериметр

   

и формулу можно записать так:

   

Если нужно найти радиус вписанной в треугольник окружности по его сторонам, то площадь треугольника ищут по формуле Герона, соответственно, формула для нахождения радиуса треугольника по трем сторонам имеет вид:

   

 

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

Формула для нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

   

где a, b — длины катетов, c — длина гипотенузы.

 

 

Радиус окружности, вписанной в правильный (то есть равносторонний) треугольник

Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник:

   

или (без иррациональности в знаменателе):

   

где a -длина стороны правильного треугольника.

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности также можно найти через радиус описанной окружности:

   

www.treugolniki.ru

Все формулы для радиуса вписанной окружности

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

 

a - сторона ромба

D - большая диагональ

d - меньшая диагональ

α - острый угол

О - центр вписанной окружности

r - радиус вписанной окружности

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :

 

 

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

 

a - сторона ромба

h - высота

О - центр вписанной окружности

r - радиус вписанной окружности

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :

 

www-formula.ru

Радиус вписанной окружности | Треугольники

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус вписанной в треугольник и в многоугольник окружности, размещены на одной странице.

Радиус вписанной в многоугольник окружности

Если в многоугольник можно вписать окружность, то формула для вычисления радиуса вписанной окружности:

   

где p — полупериметр, то есть полусумма длин всех сторон этого многоугольника.

Например, для пятиугольника со сторонами a, b, c, d, e радиус вписанной окружности находится по формуле

   

   

откуда

   

По этой же формуле ищут радиус вписанной в треугольник окружности.

Радиус вписанной в треугольник окружности

Формула для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности (верна для треугольника любого вида)

   

где p — полупериметр,

   

где a, b, c — стороны треугольника.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

   

где a и b — катеты, c — гипотенуза.

 

Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник

Формула радиуса вписанной в правильный многоугольник окружности

   

где a — сторона многоугольника, n — количество сторон.

Частные случаи — правильный (равносторонний) треугольник, правильный четырехугольник (квадрат) и правильный шестиугольник.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник

Формула радиуса вписанной окружности для правильного треугольника:

   

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности вдвое меньше радиуса описанной окружности:

   

 

Радиус окружности, вписанной в квадрат

 

Формула радиуса вписанной в квадрат окружности:

   

где a — сторона квадрата.

 

Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник

 

Формула радиуса вписанной в правильный шестиугольник окружности:

   

где a — сторона правильного шестиугольника.

 

Для любого многоугольника центр вписанной окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

www.treugolniki.ru

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти площадь треугольника через радиус вписанной окружности?

Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной в этот треугольник окружности на на его полупериметр.

Формула для нахождения площади треугольника через радиус вписанной окружности:

   

   

 

 

Дано:

∆ ABC,

окружность (O; r) — вписанная,

AB=c, BC=a, AC=b,

   

Доказать:

   

Доказательство:

 

 

Рассмотрим треугольник AOC.

   

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, OF — высота треугольника AOC.

По формуле

   

   

 

 

Аналогично найдем

площади

треугольников

AOB и BOC:

 

   

   

Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников, то

   

   

Что и требовалось доказать.

Если требуется найти площадь треугольника через его периметр, формулу записывают так:

   

где P — периметр треугольника, r — радиус вписанной в этот треугольник окружности.

www.treugolniki.ru

Как найти формулу радиуса окружности, вписанной в треугольник

Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла.

Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.

Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:

  1. Длин сторон треугольника.
  2. Его площади.
  3. Его периметра.
  4. Величины углов треугольника.

Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.

Вычисление с помощью полупериметра

Чтобы рассчитать величину радиуса вписанной окружности в треугольник, необходимо учитывать следующие параметры:

  1. Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами a, b и c), то вычислять радиус придётся путём извлечения квадратного корня.
  2. Приступая к вычислениям, необходимо добавить к исходным данным ещё одну переменную — полупериметр (р). Его можно рассчитать, сложив все длины и полученную сумму разделив на 2. p = (a+b+c)/2. Таким образом можно существенно упростить формулу нахождения радиуса.
  3. В целом формула должна включать в себя знак радикала, под который помещается дробь, знаменателем этой дроби будет величина полупериметра р.
  4. Числителем данной дроби будет представлять собой произведение разностей (p-a)*(p-b)*(p-c)
  5. Таким образом, полный вид формулы будет представлен следующим образом: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Вычисление с учётом площади треугольника

Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.

  1. Для начала нужно удвоить величину площади.
  2. Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть следующим образом: r = 2*S/(a+b+c).
  3. Если воспользоваться величиной полупериметра, можно получить совсем простую формулу: r = S/p.

Расчёт с помощью тригонометрических функций

Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией — тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:

r = (P /2- a)* tg (α/2), где r — искомый радиус, Р — периметр, а — значение длины одной из сторон, α — величина противоположного стороне, а угла.

Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность. Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.

  1. Для начала необходимо выстроить прямоугольный треугольник с заданными параметрами. Построить такую фигуру можно по размеру её одной стороны и величинам двух углов или же по двум сторонам и углу между этими сторонами. Все эти параметры должны быть указаны в условии задачи. Треугольник обозначается как АВС, причём С — это вершина прямого угла. Катеты при этом обозначаются переменными, а и b, а гипотенуза — переменной с.
  2. Для построения классической формулы и вычисления радиуса окружности необходимо найти размеры всех сторон описанной в условии задачи фигуры и по ним вычислить полупериметр. Если в условиях даются размеры двух катетов, по ним можно вычислить величину гипотенузы, исходя из теоремы Пифагора.
  3. Если в условии дан размер одного катета и одного угла, необходимо понять, прилежащий этот угол или противолежащий. В первом случае гипотенуза находится с помощью теоремы синусов: с=a/sinСАВ, во втором случае применяют теорему косинусов с=a/cosCBA.
  4. Когда все расчёты выполнены и величины всех сторон известны, находят полупериметр по формуле, описанной выше.
  5. Зная величину полупериметра, можно найти радиус. Формула представляет собой дробь. Её числителем является произведение разностей полупериметра и каждой из сторон, а знаменателем —величина полупериметра.

Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается — достаточно разделить площадь на полупериметр.

Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.

Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.

liveposts.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Планиметрия

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

      Напомним определение биссектрисы угла.

      Определение 1. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

      Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Рис. 1

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на биссектрисе угла BAC, и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

DF = DE,

что и требовалось доказать.

      Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Рис. 2

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

      Определение 2. Окружность называют окружностью, вписанной в угол, если она касается касается сторон этого угла.

      Теорема 3. Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

      Доказательство. Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC, а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Рис.3

      Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

AF = AE,

что и требовалось доказать.

      Замечание. Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

      Напомним определение биссектрисы треугольника.

      Определение 3. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

      Теорема 4. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Рис. 4

      Опустим из точки O перпендикуляры OD, OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

OD = OE,

      Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

OD = OF,

      Следовательно, справедливо равенство:

OE = OF,

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC. Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

     Определение 4. Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.

Рис. 5

      Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольник

Посмотреть вывод формулы

a, b, c – стороны треугольника,S – площадь,r – радиус вписанной окружности,p – полупериметр

.

Посмотреть вывод формулы

Равнобедренный треугольник

Посмотреть вывод формулы

a – боковая сторона равнобедренного треугольника,b – основание,r – радиус вписанной окружности

Равносторонний треугольник

Посмотреть вывод формулы

a – сторона равностороннего треугольника,r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольник

Посмотреть вывод формул

a, b – катеты прямоугольного треугольника,c – гипотенуза,r – радиус вписанной окружности

Произвольный треугольник

гдеa, b, c – стороны треугольника,S –площадь,r –  радиус вписанной окружности,p – полупериметр.

Посмотреть вывод формулы

гдеa, b, c – стороны треугольника,r – радиус вписанной окружности,p – полупериметр.

Посмотреть вывод формулы

Равнобедренный треугольник

гдеa – боковая сторона равнобедренного треугольника,b – основание,r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Равносторонний треугольник

гдеa – сторона равностороннего треугольника,r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник

гдеa, b – катеты прямоугольного треугольника,c – гипотенуза,r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формул

Произвольный треугольник

гдеa, b, c – стороны треугольника,S –площадь,r –  радиус вписанной окружности,p – полупериметр.

Посмотреть вывод формулы

гдеa, b, c – стороны треугольника,r – радиус вписанной окружности,p – полупериметр.

Посмотреть вывод формулы

Равнобедренный треугольник

гдеa – боковая сторона равнобедренного треугольника,b – основание,r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Равносторонний треугольник

гдеa – сторона равностороннего треугольника,r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник

гдеa, b – катеты прямоугольного треугольника,c – гипотенуза,r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

Рис. 6

      Доказательство. Из формулы

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

      Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Рис. 7

      Доказательство. Поскольку для произвольного треугольника справедлива формула

где

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

получаем

что и требовалось.

      Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Рис. 8

      Доказательство. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула

то, в случае равностороннего треугольника, когда

b = a,

получаем

что и требовалось.

      Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

      Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

где a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.

Рис. 9

      Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольникомпрямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадратквадрат. Следовательно,

СD = СF= r,

      В силу теоремы 3 справедливы равенства

      Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

      Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Свойства вписанной в треугольник окружности

В этой статье Вы сможете найти свойства вписанной в треугольник окружности, а также их доказательства.

Вписанная в треугольник окружность - это такая окружность, которая находится внутри треугольника и при этом касается всех его сторон (то есть все стороны треугольника являются касательными к окружности). Стоит отметить, что в этом случае сам треугольник является описанным вокруг данной окружности.

Рисунок 1

Свойства вписанной в треугольник окружности

  1. Центр вписанной в треугольник окружности (на рис. 1 – точка О) лежит на пересечении биссектрис треугольника (на рис.1 – АО, ВО и СО).
  2. В любой треугольник вписывается окружность и притом только одна.
  3. Радиус вписанной в треугольник окружности равен:

    Где S – это площадь треугольника, p - полупериметр треугольника, a, b, c - стороны треугольника.

Доказательства свойств

Первое свойство

Доказать, что центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис.

Доказательство.

  1. Опустим из центра окружности перпендикуляры (OL, OK и OM) к каждой из сторон треугольника ABC (рис. 2). Также из каждого угла проведем прямую к центру окружности (OA, OC и OB).

    Рисунок 2

  2. Рассмотрим 2 треугольника AOM и AOK. Они являются прямоугольными, т.к. OM и OK – перпендикуляры к сторонам AC и AB. Гипотенуза OA является общей для обоих треугольников.
  3. Поскольку касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (свойство касательной к окружности), то катеты OМ и OК являются радиусами окружности и, следовательно, равны.
  4. Из вышесказанного следует, что прямоугольные треугольники AOМ и AOК равны по гипотенузе и катету. Т.к. треугольники равны, то углы OAМ и OAК тоже равны, отсюда следует, что OA – биссектриса угла BAC.
  5. Аналогичным образом доказывается, что OC – биссектриса угла ACB, а OB – биссектриса угла ABC.
  6. То есть биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой является центр вписанной окружности.

Что и требовалось доказать.

Второе свойство

Доказать, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство

  1. В треугольник можно вписать окружность только в том случае, если найдется точка равноудаленная от его сторон.
  2. Проведем 2 биссектрисы OA и OC. Опустим из точки их пресечения перпендикуляры (OK, OL и OM) ко всем трем сторонам треугольника ABC (рис. 3).

    Рисунок 3

  3. Рассмотрим треугольники AOK и AOM.
  4. У них общая гипотенуза AO. Углы OAK и OAM равны (т.к. OA – биссектриса угла KAM). Углы OKA и OMA прямые (т.е. тоже равны), т.к. OK и OM – перпендикуляры к сторонам AB и AC соответственно.
  5. Поскольку 2 пары углов равны, то и 3-я пара (AOM и AOK) также является равной.
  6. Из вышенаписанного следует, что треугольники AOK и AOM равны по стороне (AO) и 2-м прилежащим к ней углам (рис. 4).

    Рисунок 4

  7. Отсюда следует, что стороны OM и OK равны, т.е. равноудалены от сторон треугольника AC и AB соответственно.
  8. Аналогичным образом доказывается, что OM и OL равны, т.е. они равноудалены от сторон треугольника AC и BC соответственно.
  9. Из вышенаписанного следует, что точка O равноудалена от сторон треугольника, т.е. является центром вписанной окружности.
  10. Аналогичным образом можно найти точку внутри любого треугольника, которая будет равноудалена от его сторон, то есть будет центром вписанной в этот треугольник окружности.
  11. Из вышенаписанного следует, что в любой треугольник можно вписать окружность.
  12. Следует отметить, что центр данной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.
  13. Допустим, что в треугольник можно вписать две (или более) окружности.
  14. Проведя 3 отрезка из вершин треугольника к центру этой окружности и, опустив перпендикуляры из этого центра к каждой из сторон треугольника, мы сможем доказать, что эта окружность лежит на пересечении биссектрис треугольника (см. доказательство первого свойства).
  15. То есть центр этой окружности совпадает с центром первой окружности, уже вписанной в треугольник, а ее радиус равен перпендикуляру, опущенному на сторону треугольника (как и в первом случае). Это говорит о том, что данные окружности совпадают.
  16. Аналогичным образом можно доказать, что любая новая вписанная окружность совпадает с первой, которую мы впишем.
  17. То есть вписать в треугольник можно только одну окружность.

Что и требовалось доказать.

Третье свойство

Доказать, что радиус вписанной окружности r равен отношению площади треугольника S к полупериметру p.

А также равенство:

Доказательство.

Рисунок 5

  1. Рассмотрим произвольный треугольник ABC со сторонами a, b и c (рис 5). Полупериметр данного треугольника p рассчитывается по формуле:

  2. Центр нашей окружности (точка O на рис. 5) находиться на пересечении биссектрис треугольника. Отрезки OA, OB и OC, соединяющие O с вершинами треугольника АВС, делят треугольник на три: AOC, COB, BOA. Площадь треугольника ABC можно найти как сумму площадей этих трех треугольников.

  3. Поскольку площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту, а высота треугольников AOC, COB, BOA равна радиусу окружности r, то площади треугольников AOC, COB и BOA можно найти как:

  4. Выразим площадь S треугольника ABC через сумму площадей этих трех треугольников:

  5. Заметив, что второй множитель – это полупериметр треугольника ABC, можно представить наше равенство в виде:

    Или

  6. Итак, мы доказали, что радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к полупериметру.
  7. Вспомним формулу Герона, которая в нашем случае будет иметь вид:

  8. Теперь радиус можно выразить как:

Что и требовалось доказать.

Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

Скорее всего, Вам будет интересно:

people-ask.ru