Построить таблицу истинности для логического выражения (A ^ B) -> (C v not A). Составьте таблицу истинности для логического выражения


Логические выражения и логическая таблица истинности. Правила построения

Логические выражения и таблица истинности

 Таблица истинности – таблица, показывающая,  какие значения принимает составное высказывание при  всех сочетаниях (наборах)  значений  входящих в него простых высказываний.

Логическое выражение – составные высказывания в виде формулы.

Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».

Алгоритм построения  таблицы  истинности:

1.    подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2.   определить число строк в таблице по формуле m=2n, где n – количество переменных;

3.   подсчитать количество логических операций в формуле;

4.   установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5.   определить количество столбцов: число переменных + число операций;

6.   выписать наборы входных переменных;

7.   провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

Заполнение таблицы:

1.      разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;

2.      разделить колонку  значений  второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;

3.      продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.

 

Пример 1. Для формулы  A/\ (B \/ ¬B /\¬C) постройте  таблицу истинности.

 Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк – 23 = 8.

Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов – 3 + 5 = 8.

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Определите истинность  логического выражения  F(А, В) = (А\/ В)/\(¬А\/¬В) .

1. В выражении две переменные А и В (n=2).

2.  mстрок=2n, m=22=4 строки.

3. В формуле 5 логических операций.

4. Расставляем порядок действий

1) А\/ В;  2) ¬А;  3) ¬В;  4) ¬А\/¬В;  5) (А\/ В)/\(¬А\/¬В).

5. Кстолбцов=n+5=2+5=7 столбцов.

 

А

В

А\/ В

¬А

¬В

¬А\/¬В

F

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

 Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.

 

Пример 3. Построёте таблицу истинности для логического выражения

F = (A\/ B) /\ ¬С

  1. В данной функции три логические переменные – А, В, С
  2. количество строк таблицы = 23 =8
  3. В формуле 3 логические операции.
  4. Расставляем порядок действий

1) А\/ В;  2) ¬С; 3) (AVB) /\ ¬С  .

  1. количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6

А

В

С

A\/B

¬С

(A\/B) /\ ¬С

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

 

Пример 4.  Определите истинность формулы: F = ((С \/В) =>  В) /\ (А /\ В) => В.

Построим таблицу истинности этой формулы.

 

 

 

 

 

 

Ответ: формула является тождественно истинной.

Пример 5. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

 

X

Y

Z

F

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

 

Какое выражение соответствует F?

 1) ¬X/\¬Y/\Z                      2) ¬X\/¬Y\/Z                  3) X\/Y\/¬Z              4) X\/Y\/Z

 Решение (вариант 1, через таблицы истинности):

Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:

X

Y

Z

F

¬X

¬Y

¬Z

¬X/\¬Y/\Z

¬X\/¬Y\/Z

X\/Y\/¬Z

X\/Y\/Z

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

 Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X\/Y\/¬Z. Следовательно, правильный ответ – 3.

Ответ: 3

 Решение (Вариант 2):

Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. Т.е. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y  и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение.

 Рассмотрим данный конкретный пример:

1)      первое заданное выражение  ¬X/\¬Y/\Z = 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;

2)      второе заданное выражение ¬X\/¬Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует  второй строке таблицы;

3)      третье выражение   X\/Y\/¬Z    соответствует F при всех предложенных комбинациях X,Y и Z;

4)      четвертое выражение X\/Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.

Ответ: 3

mir-logiki.ru

Таблицы истинности, с формулами и примерами

Они могут принимать значения «истина» или «ложь» (1 или 0). Для функции, содержащей две переменные, наборов значений переменных всего четыре:

   

Значения логических функций определяются с помощью таблица истинности.

Таблицы истинности для основных двоичных логических функций

1. Конъюнкция (логическое умножение) – сложное логическое выражение, которое является истинным только в том случае, когда истинны оба входящих в него простых выражения.

Обозначение:

2. Дизъюнкция (логическое сложение) – это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно, если оба простых логических выражения ложны.

Обозначение:

3. Импликация (логическое следствие) – это сложное логическое выражение, которое является ложным тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно.

Обозначение:

4. Эквиваленция – это сложное логическое высказывание, которое является истинным только при одинаковых значениях истинности простых выражений, входящих в него.

Обозначение:

5. Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.

Обозначение:

6. Штрих Шеффера – операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение ложно тогда и только тогда, когда оба простых выражения истинны.

Обозначение:

7. Стрелка Пирса – операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение истинно тогда и только тогда, когда оба простых выражения ложны.

Обозначение:

Порядок выполнения логических операций

При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций:

  1. Инверсия
  2. Конъюнкция
  3. Дизъюнкция
  4. Импликация
  5. Эквиваленция
  6. Штрих Шеффера
  7. Стрелка Пирса

Для последних двух операций приоритет не определен.

Замечание. Если необходимо изменить указанный порядок выполнения логических операций используются скобки.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Построить таблицу истинности для логического выражения (A ^ B) -> (C v not A)

Построить таблицу истинности для логического выражения. Информатика в 8 классе.

Тема: «Основы алгебры логики».

Основы алгебры логики

Основы алгебры логики на уроках информатики изучаются в школе, начиная с 8 класса.

Прежде чем приступить к выполнению задания, разберем базовые понятия алгебры логики.

Алгебра логики (алгебра высказываний) — это формальная логическая теория, раздел математической логики. Основание алгебры логики положил Джордж Буль (1815 — 1864), развил же и усовершенствовал её Эрнст Шрёдер (1841-1902).

Высказывание — это предложение, о котором имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно. Истина = 1, ложь =0.

Высказывание, включающее другие высказывания, называют сложным. Для образования сложных высказываний используют логические операции (связки).

Логическая операция — операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путём соединения более простых.

Логические операции в порядке приоритета.

Инверсия (отрицание)Инверсия — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда исходное высказывание ложно.В выражениях обозначается ¬A или A.Читается «НЕ» (например, «не А»).Конъюнкция (логическое умножение)Конъюнкция — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба исходных высказывания.В выражениях обозначается A ∧ B или A & B (знак может не указываться — AB).Читается «И» (например, «А и Б»)Дизъюнкция (логическое сложение)Дизъюнкция — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных высказываний.В выражениях обозначается A ∨ B, иногда A + B.Читается «ИЛИ» (например, «А или Б»)Импликация (следование)Импликация — это логическая операция, образующая сложное высказывание, ложное тогда и только тогда, когда первое исходное высказывание истинно, а второе — ложно.В выражениях обозначается A ⇒ B или A → B.Читается «ЕСЛИ…ТО» (например, «если А, то Б»)Эквивалентность (равнозначность)Эквивалентность — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда значения исходных высказываний совпадают.В выражениях обозначается A ⇔ B или A ≡ B.Читается «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА» (например, «А тогда и только тогда, когда Б»)

Для записи логических функций часто используют таблицы истинности.

Таблица истинности — таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.

РЕШЕНИЕ

amlesson.ru

1.3 Построение таблицы истинности для логического выражения

При составлении таблицы истинности для логического выражения необходимо:

  1. Выяснить количество строк в таблице (вычисляется как 2n, где n – количество переменных).

  2. Выяснить количество столбцов (определяется как количество переменных + количество логических операций).

  3. Установить последовательность выполнения логических операций.

  4. Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.

  5. Заполнить таблицу истинности по столбцам.

Контрольный пример. Построить таблицу истинности для выражения F = (A V B) & (¬A V ¬B).

Количество строк в таблице определяется как 22 (2 переменных) + 1 (заголовок таблицы) = 5.

Количество столбцов – как 2 логические переменные (A, B) + 5 логических операций (&, V, ¬, →, ↔).

Расставим порядок выполнения операций:

(A V B) & (¬A V ¬B).

Построим таблицу истинности для данного логического выражения (таблица 5).

Таблица 5 – Таблица истинности для логического выражения

A

B

A V B

¬A

¬B

(¬A V ¬B

(A V B) & (¬A V ¬B)

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

Контрольный пример. Построить таблицу истинности для логического выражения X V Y & ¬Z.

Количество строк = 23+ 1 = 9.

Количество столбцов = 3 логические переменные + 3 логических операций = 6.

Укажем порядок действий:

3 2 1

X V Y & ¬Z.

Нарисуем и заполним таблицу 6:

Таблица 6 – Таблица истинности для логического выражения

X

Y

Z

¬Z

Y & ¬Z

X V Y & ¬Z

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1.4 Построение логических схем

С точки зрения логики электрический ток либо течет, либо не течет; электрический импульс есть или нет; электрическое напряжение есть или нет. Рассмотрим электрические контактные схемы, реализующие логические операции (схемы 1 – 3). На схемах 1 – 3 контакты обозначены латинскими буквами A и B.

A

A

A

B

B

  

Схема 1 – Конъюнкция Схема 2 – Дизъюнкция Схема 3 – Инверсия

(автоматический ключ)

Схема 4 – Конъюнктор Схема 5 – Дизъюнктор Схема 6 – Инвертор

Цепь на схеме 1 с последовательным соединением контактов соответствует логической операции «И» и представляется конъюнктором (схема 4). Цепь на схеме 2 с параллельным соединением контактов соответствует логической операции «ИЛИ» и представляется дизъюнктором (схема 5). Цепь на схеме 3 (электромагнитное реле) соответствует логической операции «НЕ» и представляется инвертором (схема 6).

Именно такие электронные схемы нашли свое применение в качестве элементной базы ЭВМ. Элементы, реализующие базовые логические операции, назвали базовыми логическими элементами или вентилями и характеризуются они не состоянием контактов, а наличием сигналов на входе и выходе элемента. Их названия и условные обозначения являются стандартными и используются при составлении и описании логических схем компьютера.

Логические схемы необходимо строить из минимально возможного количества элементов, что, в свою очередь, обеспечивает большую скорость работы и увеличивает надежность устройства.

Правило построения логических схем:

  1. Определить число логических переменных.

  2. Определить количество базовых логических операций и их порядок.

  3. Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль.

  4. Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.

Контрольный пример. Пусть X = Истина (1), Y = Ложь (0). Составьте логическую схему для следующего логического выражения: F = X V Y & X.

1

2

1

) Две переменные –X и Y.

2) Две логические операции: X V Y & X.

3) Строим схему (рисунок 3).

4) Ответ: 1 V 0 & 1 = 1.

X

Y

Рисунок 3 – Логическая схема для логического выражения F = X V Y & X

studfiles.net

Как составить таблицу истинности для сложного логического выражения

Сегодня мы постараемся объяснить, как составить таблицу истинности для логического выражения. Обратите внимание на то, что булева алгебра встречается, по меньшей мере, в трех заданиях единого государственного экзамена. Если вы прочитаете данную статью, то, наверняка, получите больше баллов на экзамене по информатике.

Операции

Перед тем как составлять таблицу истинности, предлагаем познакомиться с операциями булевой алгебры.

Начнем наше знакомство с функцией отрицания. Ее также называют инверсией. Приведем такой пример: выражение «я сегодня иду в кино». Применяем к нему инверсию, в результате имеем: «я сегодня НЕ иду в кино».

Теперь поговорим о функциях умножения и сложения, в булевой алгебре они имеют названия – конъюнкция и дизъюнкция соответственно. Предположим, нам говорят: «ты пойдешь в кино, если выучишь уроки и вынесешь мусор». В данном предложении союз «И» выполняет функцию конъюнкции, а «ЕСЛИ» – дизъюнкции.

Логическое следствие – это еще одна сложная операция логики, которая содержит в себе два выражения: условие и следствие. Если интерпретировать на русский язык, то предложение строится примерно следующим образом: «если я успею выучить литературу, то пойду в кино». Часть предложения до запятой – условие, а после запятой – следствие.

Теперь коротко о функции эквивалентности или равнозначности. Провести параллель с русским языком в данном случае довольно сложно. Для равнозначности стоит запомнить, что если два входных выражения являются либо ложными, либо истинными, то результат положительный, то есть равен единице.

Алгоритм

Сейчас мы поговорим о том, как составить таблицу истинности по информатике, а точнее, обсудим алгоритм наших действий.

Для составления таблицы, в первую очередь необходимо определиться с количеством ячеек, столбцов и строк. Будем все делать поэтапно.

  • Определяем количество строк. Для этого необходимо подсчитать, сколько переменных входит в состав выражения, и возвести двойку в это число. Например, как составить таблицу истинности, а точнее узнать количество строк для выражения с тремя переменными? Два возводим в третью степень и получаем восемь. Без учета шапки, нам понадобится восемь строк.
  • Для того чтобы определить количество столбцов, нам необходимо подсчитать и пронумеровать операции в данном выражении. Например, в выражении неА*С+В всего три операции. Первая – отрицание, вторая – умножение, третья – сложение. Значит для заполнения значений операций нам нужно три колонки. Но, стоит учитывать и то, что наше выражение состоит из трех переменных, а нам необходимо заполнить их возможные комбинации, добавляем еще три колонки. Итого получается 6.
  • Далее переходим к перечислению возможных комбинаций переменных и заполнению таблицы. Обязательно учитывайте приоритет операций.

Первый пример (три переменных)

Предлагаем вам решить следующую задачу: вычислите, сколько комбинаций удовлетворяют условию F=1 выражения: (неА+В)*неС+А. А сейчас о том, как составить таблицу истинности для решения задачи. Прибегаем к помощи составленного алгоритма действий.

  1. Количество строк=9 (восемь комбинаций переменных + одна строчка – шапка таблицы).
  2. Приоритет функций: 1- инверсия, 2 – сложение в скобках, 3 – инверсия С, 4 – умножение, 5 – сложение.
  3. Количество столбцов = 8.
  4. Составление таблицы и заполнение.

Выражение А

Выражение В

Выражение С

Операция №1

Операция №2

Операция №3

Операция №4

Операция №5

-

-

-

+

+

+

+

И

-

-

+

+

+

-

-

Л

-

+

-

+

+

+

+

И

-

+

+

+

+

-

-

Л

+

-

-

-

-

+

-

И

+

-

+

-

-

-

-

И

+

+

-

-

-

+

-

И

+

+

+

-

-

-

-

И

  1. Нахождение ответа на вопрос.
  2. Запись ответа. Ответ:6. Обратите внимание на то, что в условии задания спрашивается сколько комбинаций удовлетворяют, но не просится их перечислять.

Второй пример (4 переменных)

Предлагаем вам рассмотреть вопрос: как составить таблицу истинности для формулы: А*В*неС+D? Какое количество комбинаций соответствует: F=0.

Действуем по тому же алгоритму. Количество строк в нашем случае увеличивается до 17, а столбцов – до 8. Приоритет операций:

  1. А*В;
  2. неС;
  3. перемножение результатов первой и второй операции;
  4. сложение результат третьей операции и значения переменной D.

Предлагаем вам самостоятельно попробовать составить и заполнить таблицу, а затем свериться с результатами в данном разделе статьи.

Переменная А

Переменная В

Переменная С

Переменная D

Умножение (1)

Инверсия (2)

Умножение (3)

Сложение (4)

-

-

-

-

-

+

-

-

-

-

-

+

-

+

-

+

-

-

+

-

-

-

-

-

-

-

+

+

-

-

-

+

-

+

-

-

-

+

-

-

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

+

-

-

-

-

-

-

+

+

+

-

-

-

+

+

-

-

-

-

+

-

-

+

-

-

+

-

+

-

+

+

-

+

-

-

-

-

-

+

-

+

+

-

-

-

+

+

+

-

-

+

+

+

+

+

+

-

+

+

+

+

+

+

+

+

-

+

-

-

-

+

+

+

+

+

-

-

+

Из полученной таблицы мы делаем вывод: данному условию удовлетворяет 7 различных комбинаций переменных.

fb.ru

Таблица истинности онлайн с примерами

Таблица истинности — это таблица, которая описывает логическую функцию. Логическая функция здесь — это функция, у которой значения переменных и значение самой функции выражают истинность. Например, они принимают значения «истина» либо «ложь» (true либо false, 1 либо 0).

Таблицы истинности применяются для определения значения какого-либо высказывания для всех возможных случаев значений истинности высказываний, которые его составляют. Количество всех существующих комбинаций в таблице находится по формуле N=2*n; где N - общее количество возможных комбинаций, n - число входных переменных. Таблицы истинности нередко используются в цифровой технике и булевой алгебре, чтобы описать работу логических схем.

Таблицы истинности для основных функций

Примеры: конъюнкция - 1&0=0, импликация - 1→0=0.

Порядок выполнения логических операций

Инверсия; Конъюнкция; Дизъюнкция; Импликация; Эквиваленция; Штрих Шеффера; Стрелка Пирса.

Последовательность построения (составления) таблицы истинности:

https://uchim.org/matematika/tablica-istinnosti - uchim.org

  1. Определить количество N используемых переменных в логическом выражении.
  2. Вычислить количество всевозможных наборов значений переменных M = 2N , равное количеству строк в таблице.
  3. Подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество логических операций.
  4. Озаглавить столбцы таблицы названиями переменных и названиями логических операций.
  5. Заполнить столбцы логических переменных наборами значений, например, от 0000 до 1111 с шагом 0001 в случае для четырех переменных.
  6. Заполнить таблицу истинности по столбцам со значениями промежуточных операций слева направо.
  7. Заполнить окончательный столбец значений для функции F.

Таким образом, можно составить (построить) таблицу истинности самостоятельно.

Составить таблицу истинности онлайн

Заполните поле ввода и нажмите OK. T - истина, F - ложь. Рекомендуем добавить страницу в закладки или сохранить в социальной сети.

Обозначения

  1. Множества или выражения большими буквами латинского алфавита: A, B, C, D...
  2. A' - штрих - дополнения множеств
  3. && - конъюнкция ("и")
  4. || - дизъюнкция ("или")
  5. ! - отрицание (например, !A)
  6. \cap - пересечение множеств \cap
  7. \cup - объединение множеств (сложение) \cup
  8. A&!B - разность множеств A∖B=A-B
  9. A=>B - импликация "Если ..., то"
  10. AB - эквивалентность

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица истинности онлайн с примерами - логика

Группа с кучей полезной информации (подпишитесь, если предстоит ЕГЭ или ОГЭ):

uchim.org

Построить таблицу истинности следующих логических выражений

Проблема определения истинности выражения встаёт перед многими науками. Любая доказательная дисциплина должна опираться на некоторые критерии истинности доказательств. Наука, изучающая эти критерии, называется алгеброй логики. Основной постулат алгебры логики заключается в том, что любое самое витиеватое утверждение может быть представлено в виде алгебраического выражения из более простых утверждений, истинность или ложность которых легко определить.

Для любого «алгебраического» действия над утверждением задаётся правило определения истинности или ложности измененного утверждения, исходя из истинности или ложности исходного утверждения. Эти правила записываются через таблицы истинности выражения. Прежде, чем составлять таблицы истинности, надо поближе познакомиться с алгеброй логики.

Алгебраические преобразования логических выражений

Любое логическое выражение, как и его переменные (утверждения), принимают два значения: ложь или истина. Ложь обозначается нулём, а истина — единицей. Разобравшись с областью определения и областью допустимых значений, мы можем рассмотреть действия алгебры логики.

Отрицание

Отрицание и инверсия — самое простое логическое преобразование. Ему соответствует частица «не.» Это преобразование просто меняет утверждение на противоположное. Соответственно, значение утверждения тоже меняется на противоположное. Если утверждение А истинно, то «не А» — ложно. Например, утверждение «прямой угол — это угол, равный девяносто градусов» — истина. Тогда его отрицание «прямой угол не равен девяноста градусам» — ложь.

Таблица истинности для отрицания будет такова:

Конъюнкция

Конъюнкция аналогична умножению и соответствует союзу «и». Такое выражение будет верно, только если верны все утверждения, объединённые конъюнкцией. То есть, утверждение «А и Б» будет истинным, только если А — истина и Б — истина. Во всех остальных случаях выражение «А и Б» ложно. Например, высказывание «Земля круглая и плоская» будет ложно, так как первая часть истина, а вторая — ложь.

Таблица истинности конъюнкции

А Б А и Б
Л Л Л
Л И Л
И Л Л
И И И

Дизъюнкция

Эта операция может быть обычной или строгой, их результаты будут различаться.

Обычная дизъюнкция или логическое сложение соответствует союзу «или». Она будет истинной если хотя бы одно из утверждений, входящих в неё — истина. Например, выражение «Земля круглая или стоит на трёх китах» будет истинным, так как первое утверждение — истинно, хоть второе и ложно.В таблице это будет выглядеть так:

А Б А или Б
Л Л Л
Л И И
И Л И
И И И

Строгую дизъюнкцию или сложение по модулю также называют «исключающим или». Эта операция может принимать вид грамматической конструкции «одно из двух: либо …, либо …». Здесь значение логического выражения будет ложным, если все утверждения, входящие в него, имеют одинаковую истинность. То есть, оба утверждения либо вместе истинны, либо вместе ложны.

Таблица значений исключающего или

А Б либо А, либо Б
Л Л Л
Л И И
И Л И
И И Л

Импликация и эквивалентность

Импликация представляет собой следствие и грамматически может быть выражена как «из А следует Б». Здесь утверждение А будет называться предпосылкой, а Б — следствием. Импликация может быть ложной, только в одном случае: если предпосылка истинна, а следствие ложно. То есть, ложь не может следовать из истины. Во всех остальных случаях импликация истинна. Варианты, когда оба утверждения имеют одинаковую истинность, вопросов не вызывают. Но почему верное следствие из неверной предпосылки — истина? Дело в том, что из ложной предпосылки может следовать что угодно. Это и отличает импликацию от эквивалентности.

В математике (и других доказательных дисциплинах) импликация используется для указания необходимого условия. Например, утверждение А — «точка О — экстремум непрерывной функции», утверждение Б — «производная непрерывной функции в точке О обращается в ноль». Если О, действительно, точка экстремума непрерывной функции, то производная в этой точке будет, и вправду, равна нулю. Если же О не является точкой экстремума, то производная в этой точке может быть нулевой, а может не быть. То есть Б необходимо для А, но не достаточно.

Таблица истинности для импликации выглядит следующим образом:

А Б из А следует Б
Л Л И
Л И И
И Л Л
И И И

Логическая операция эквивалентность, по сути, является взаимной импликацией. «А эквивалентно Б» означает, что «из А следует Б» и «из Б следует А» одновременно. Эквивалентность верна, когда оба утверждения либо одновременно верные, либо одновременно неверные.

А Б А эквивалентно Б
Л Л И
Л И Л
И Л Л
И И И

В математике эквивалентность используется для определения необходимого и достаточного условия. Например, утверждение А — «Точка О является точкой экстремума непрерывной функции», утверждение Б — «В точке О производная функции обращается в ноль и меняет знак». Эти два утверждения эквивалентны. Б содержит необходимое и достаточное условие для А. Обратите внимание, что в данном примере утверждений Б на самом деле является конъюнкцией двух других: «производная в точке О обращается в ноль» и «производная в точке О меняет знак».

Прочие логические функции

Выше были рассмотрены основные логические операции, которые часто используются. Есть и другие функции, которые используются:

  • Штрих Шеффера или несовместимость представляет собой отрицание конъюнкции А и Б
  • Стрелка Пирса представляет сбой отрицание дизъюнкции.

Построение таблиц истинности

Чтобы построить таблицу истинности для какого-либо логического выражения, надо действовать в соответствии с алгоритмом:

  1. Разбить выражение на простые утверждения и обозначить каждое из них как переменную.
  2. Определить логические преобразования.
  3. Выявить порядок действий этих преобразований.
  4. Сосчитать строки в будущей таблице. Их количество равно два в степени N, где N — число переменных, плюс одна строка для шапки таблицы.
  5. Определить число столбцов. Оно равно сумме количества переменных и количества действий. Можно представлять результат каждого действия в виде новой переменной, если так будет понятней.
  6. Шапка заполняется последовательно, сначала все переменные, потом результаты действий в порядке их выполнения.
  7. Заполнение таблицы надо начать с первой переменной. Для неё количество строк делится пополам. Одна половина заполняется нулями, вторая — единицами.
  8. Для каждой следующей переменной нули и единицы чередуются вдвое чаще.
  9. Таким образом заполняются все столбцы с переменными и для последней переменной значение меняется в каждой строке.
  10. Потом последовательно заполняются результаты всех действий.

В итоге последний столбец отобразит значение всего выражения в зависимости от значения переменных.

Отдельно следует сказать о порядке логических действий. Как его определить? Здесь, как и в алгебре, есть правила, задающие последовательность действий. Они выполняются в следующем порядке:

  1. выражения в скобках;
  2. отрицание или инверсия;
  3. конъюнкция;
  4. строгая и обычная дизъюнкция;
  5. импликация;
  6. эквивалентность.

Примеры

Для закрепления материала можно попробовать составить таблицу истинности для ранее упомянутых логических выражений. Рассмотрим три примера:

  • Штрих Шеффера.
  • Стрелка Пирса.
  • Определение эквивалентности.

Штрих Шеффера

Штрих Шеффера — это логическое выражение, которое можно записать в виде «не (А и Б)». Здесь две переменные, и два действия. Конъюнкция в скобках, значит, она выполняется первой. В таблице будет шапка и четыре строки со значениями переменных, а также четыре столбца. Заполним таблицу:

А Б А и Б не (А и Б)
Л Л Л И
Л И Л И
И Л Л И
И И И Л

Отрицание конъюнкции выглядит как дизъюнкция отрицаний. Это можно проверить, если составить таблицу истинности для выражения «не А или не Б». Проделайте это самостоятельно и обратите внимание, что здесь будет уже три операции.

Стрелка Пирса

Рассматривая Стрелку Пирса, которая представляет собой отрицание дизъюнкции «не (А или Б)», сравним её с конъюнкцией отрицаний «не А и не Б». Заполним две таблицы:

А Б А или Б не (А или Б)
Л Л Л И
Л И И Л
И Л И И
И И И Л
А Б не А не Б не А и не Б
Л Л И И И
Л И И Л Л
И Л Л И И
И И Л Л Л

Значения выражений совпали. Изучив два эти примера, можно прийти к выводу, как раскрывать скобки после отрицания: отрицание применяется ко всем переменным в скобках, конъюнкция меняется на дизъюнкцию, а дизъюнкция — на конъюнкцию.

Определение эквивалентности

Про утверждения А и Б можно сказать, что они эквивалентны, тогда и только тогда, когда из А следует Б и из Б следует А. Запишем это как логическое выражение и построим для него таблицу истинности. «(А эквивалентно Б) эквивалентно (из А следует Б) и (из Б следует А)».

Здесь две переменных и пять действий. Строим таблицу:

А Б В = (из А следует Б) Г = (из Б следует А) Д = А эквивалентно Б Е = В и Г Д эквивалентно Е
Л Л И И И И И
Л И И Л Л Л И
И Л Л И Л Л И
И И И И И И И

В последнем столбце все значения истинные. Это значит, что приведенное определение эквивалентности верно при любых значениях А и Б. Значит, оно всегда истинно. Именно так с помощью таблицы истинности можно проверить корректность любых определений и логических построений.

liveposts.ru